Question

11．如圖所示，一根不可伸長(zhǎng)的輕細(xì)繩穿過(guò)小環(huán)D下端的光滑小孔，繞過(guò)輕質(zhì)光滑定滑輪O，一端與放在光滑絕緣斜面上的絕緣棒A連接，絕緣棒的中點(diǎn)帶有點(diǎn)電荷，另一端與穿在光滑豎直細(xì)桿上的小球B連接，整個(gè)裝置在同一豎直平面內(nèi)．當(dāng)系統(tǒng)靜止時(shí)，輕細(xì)繩與豎直細(xì)桿的夾角為θ=30°，D與豎直細(xì)桿間的距離為d．已知斜面傾角α=60°，棒A的長(zhǎng)度為L(zhǎng)=（2-$\sqrt{2}$）d，質(zhì)量為m，點(diǎn)電荷電量為+q，重力加速度為g，細(xì)桿、斜面足夠長(zhǎng)．試求：
（1）小球B的質(zhì)量；
（2）若在絕緣棒A靜止時(shí)下端位置MN、上端位置PQ（MN、PQ與斜面垂直）之間的區(qū)域內(nèi)加一沿斜面向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)（圖中未畫(huà)出），小球B運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn)可達(dá)與D同高的C點(diǎn)，求場(chǎng)強(qiáng)的大��；
（3）若所加電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小E=$\frac{{\sqrt{6}mg}}{2q}$，求絕緣棒A第一次全部離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)，小球的速度．

Answer 1

分析 分別對(duì)兩物體受力分析，根據(jù)平衡條件列方程求解；
由速度的合成與分解得到兩個(gè)物塊速度的關(guān)系，對(duì)系統(tǒng)由機(jī)械能守恒定律列方程求解．

解答 解：（1）兩物體受力如圖，由平衡條件得：

對(duì)A：T=mgsinα 
對(duì)B：Tcosθ=m_Bg
聯(lián)立以上各式并代入數(shù)據(jù)解得：${m_B}=\frac{3}{4}m$；

（2）由能量守恒得：$\frac{qEL}{2}+mg（\frack1m2tpt{sinθ}-d）sinα={m_B}gdcotθ$，
聯(lián)立以上各式并代入數(shù)據(jù)解得：$E=\frac{{\sqrt{3}mg}}{{2（2-\sqrt{2}）q}}=\frac{{（2\sqrt{3}+\sqrt{6}）mg}}{4q}$；

（3）絕緣棒A第一次全部離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)，小球B運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)，DE與桿的夾角為β，由能量守恒得：
$\frac{{q{E_1}L}}{2}+mgLsinα-{m_B}g（dcotθ-\overline{DE}cosβ）=\frac{1}{2}mv_A^2+\frac{1}{2}{m_B}v_B^2$，
由運(yùn)動(dòng)分解可得：v_A=v_Bcosβ，
由幾何知識(shí)可得：$\overline{DE}=\fracqb66knq{sinθ}-L$；$sinβ=\frac2faon7f{{\overline{DE}}}$，
聯(lián)立以上各式并代入數(shù)據(jù)解得：${v_B}=\sqrt{\frac{{2（3-\sqrt{3}）gd}}{5}}$．

答：（1）小球B的質(zhì)量為$\frac{3}{4}$m；
（2）若在絕緣棒A靜止時(shí)下端位置MN、上端位置PQ（MN、PQ與斜面垂直）之間的區(qū)域內(nèi)加一沿斜面向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)（圖中未畫(huà)出），小球B運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn)可達(dá)與D同高的C點(diǎn)，場(chǎng)強(qiáng)的大小為$\frac{（2\sqrt{3}+\sqrt{6}）mg}{4q}$；
（3）若所加電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小E=$\frac{{\sqrt{6}mg}}{2q}$，絕緣棒A第一次全部離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)，小球的速度為$\sqrt{\frac{2（3-\sqrt{3}）gd}{5}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決“繩（桿）端速度分解模型”問(wèn)題時(shí)應(yīng)把握以下兩點(diǎn)：
（1）確定合速度，它應(yīng)是m₂的實(shí)際速度；
（2）m₂運(yùn)動(dòng)引起了兩個(gè)效果：一是左邊繩子的縮短，二是繩繞滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)．應(yīng)根據(jù)實(shí)際效果進(jìn)行運(yùn)動(dòng)的分解．