Question

15．如圖所示，某同學(xué)站在水平地面上，手握不可伸長的輕繩一端，繩的另一端系有質(zhì)量為0.3kg的小球，甩動(dòng)手腕，使球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)小球某次運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，繩恰好斷掉，球飛行水平距離20cm后落地．已知握繩的手離地面高度為0.2m，手與球之間的繩長為15cm，取重力加速度為g=l0m/s²，忽略手的運(yùn)動(dòng)半徑和空氣阻力．求：
（1）繩斷開時(shí)小球的速度大小v_l和球落地時(shí)的速度大小v₂；
（2）細(xì)繩能承受的最大拉力多大；
（3）改變繩長（繩承受的最大拉力不變），使球重復(fù)上述運(yùn)動(dòng)，若繩仍在球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)斷掉，要使小球拋出的水平距離最大，繩長應(yīng)為多少？最大水平距離為多少？（第（3）小題計(jì)算結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的高度求出時(shí)間，結(jié)合水平位移求出平拋運(yùn)動(dòng)的初速度，即繩斷開時(shí)小球的速度．根據(jù)速度位移公式求出豎直分速度，結(jié)合平行四邊形定則求出小球落地的速度．
（2）根據(jù)牛頓第二定律求出拉力的大�。�
（3）根據(jù)牛頓第二定律得出速度的表達(dá)式，結(jié)合運(yùn)動(dòng)的時(shí)間求出水平位移表達(dá)式，通過二次函數(shù)求極值得出l為多大時(shí)，水平位移最大．

解答 解：（1）設(shè)繩斷后環(huán)做平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₁，
根據(jù)$h-l=\frac{1}{2}g{{t}_{1}}^{2}$得，${t}_{1}=\sqrt{\frac{2（h-l）}{g}}=\sqrt{\frac{2×（0.2-0.15）}{10}}$s=0.1s，
則${v}_{1}=\frac{x}{{t}_{1}}=\frac{0.2}{0.1}m/s=2m/s$．
落地時(shí)小球的豎直分速度v_y=gt₁=10×0.1m/s=1m/s，
根據(jù)平行四邊形定則知，${v}_{2}=\sqrt{{{v}_{1}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}$=$\sqrt{4+1}$m/s=$\sqrt{5}$m/s．
（2）設(shè)繩能承受的最大拉力大小為F_m，球做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R=0.15m，
根據(jù)${F}_{m}-mg=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$得，${F}_{m}=3+0.3×\frac{4}{0.15}$N=11N．
（3）設(shè)繩長為l，繩斷時(shí)球的速度大小為v₂，
有${F}_{m}-mg=m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{l}$，解得${v}_{2}=\sqrt{\frac{8gl}{3}}$，
繩斷后球做平拋運(yùn)動(dòng)，豎直位移為d-l，水平位移為x時(shí)間為t₂．
有d-l=$\frac{1}{2}g{{t}_{2}}^{2}$，x=v₂t₂，
解得x=$4\sqrt{\frac{l（d-l）}{3}}=\sqrt{\frac{16}{3}L（d-L）}$=$\sqrt{\frac{16}{3}[-（L-\frac7oda16b{2}）^{2}+\frac{vhq4mx9^{2}}{4}}$，
當(dāng)$l=\fracpmldrm4{2}=0.1m$時(shí)，x有最大值${x_{max}}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}d=\frac{{2\sqrt{3}}}{15}m=0.23m$．
答：（1）繩斷開時(shí)小球的速度大小為2m/s，球落地時(shí)的速度大小為 $\sqrt{5}$m/s．
（2）細(xì)繩能承受的最大拉力為11．
（3）要使小球拋出的水平距離最大，繩長應(yīng)為0.1m，最大水平距離為0.23m．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平拋運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)的綜合運(yùn)用，知道平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向和豎直方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律以及圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來源是解決本題的關(guān)鍵．