Question

14．游樂場的過山車可以底朝上在圓軌道上運行，游客卻不會掉下來（如圖甲）．我們把這種情況抽象為圖乙的模型：弧形軌道的下端與豎直圓軌道相接，使小球從弧形軌道上端滾下，小球進入圓軌道下端后沿圓軌道運動，其中M、N分別為圓軌道的最低點和最高點．已知圓軌道的半徑為R=4.0m，小球質量為m=2.0kg．改變小球無初速下滑時距水平面的高度h，在M、N兩個位置分別安裝了壓力傳感器用來測量小球經過時對軌道的壓力，不計一切阻力（g取10m/s²）．
問：（1）若某次小球從h₁=12m處無初速滑下，則經過M點時壓力傳感器的示數是多少？
（2）若某次小球經過N點時壓力傳感器的示數為0，那么小球釋放點的高度h₂為多少？

Answer 1

分析 （1）先由機械能守恒定律列式，求出小球經過M點時的速度大小，再由牛頓第二、第三定律結合求解傳感器的示數．
（2）小球經過N點時壓力傳感器的示數為0，恰好是物體的重力作為物體的向心力，由向心力的公式可以求得此時的最小的速度，再由機械能守恒可以求得離地面的高度h₂．

解答 解：（1）由機械能守恒定律得：mgh₁=$\frac{1}{2}$mv${\;}_{M}^{2}$
在M點，由牛頓第二定律得：F_N-mg=m$\frac{{v}_{M}^{2}}{R}$
整理得：F_N=mg（1+$\frac{2{h}_{1}}{R}$）=2×10×（1+$\frac{2×12}{4}$）=140（N）
（2）小球經過N點時壓力傳感器的示數為0，即小球通過最高點時恰好不受軌道的壓力，由重力提供向心力．由牛頓運動定律有：mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
小球在最高點處的速度至少為：v=$\sqrt{gR}$
小球由靜止運動到最高點的過程中，只有重力做功．由機械能守恒定律得：
  mgh₂=$\frac{1}{2}$mv²+mg•2R
聯立解得：h₂=2.5R=2.5×4m=10m．
答：
（1）若某次小球從h₁=12m處無初速度滑下，則經過M點時傳感器的示數是140N．
（2）若某次小球經過N點時壓力傳感器的示數為0，那么小球釋放點的高度h₂為10m

點評 本題關鍵是明確小球的運動規(guī)律，知道圓軌道最高點重力和支持力的合力提供向心力，同時要結合機械能守恒定律列式求解．