Question

3．如圖所示，x軸上方有一勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，磁場方向垂直于紙面向里．x軸下方有一勻強(qiáng)電場，電場強(qiáng)度為E、方向與y軸的夾角θ=45°且斜向上方．現(xiàn)有一質(zhì)量為m電量為q的正離子，以速度v₀由y軸上的A點(diǎn)沿y軸正方向射入磁場，該離子在磁場中運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間后從x軸上的C點(diǎn)（圖中未畫出）進(jìn)入電場區(qū)域，離子經(jīng)C點(diǎn)時(shí)的速度方向與電場方向相反． 不計(jì)離子的重力，設(shè)磁場區(qū)域和電場區(qū)域足夠大，求：
（1）C點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）離子從A點(diǎn)出發(fā)到第三次穿越x軸時(shí)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間；               
（3）回答：離子從第三次過x軸到第四次過x軸的過程在做什么運(yùn)動(dòng)．并大致畫出離子前四次穿越x軸在磁場和電場區(qū)域中的運(yùn)動(dòng)軌跡．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中在洛侖茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律求出軌跡半徑．畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，由幾何知識求出C點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)運(yùn)動(dòng)軌跡的幾何關(guān)系，來確定圓心角，并結(jié)合周期公式與牛頓第二定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，即可求解；
（3）根據(jù)粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)處理規(guī)律，由運(yùn)動(dòng)的分解，并結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，即可求解．

解答 解：（1）磁場中帶電粒子在洛侖茲力作用下做圓周運(yùn)動(dòng)，
由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，解得：r=$\frac{mv}{qB}$，
由幾何知識知，x_C=-（r+rcos450）=-$\frac{（2+\sqrt{2}）mv}{2qB}$，
故，C點(diǎn)坐標(biāo)為（-$\frac{（2+\sqrt{2}）mv}{2qB}$，0）．
（2）粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$，
設(shè)粒子從A到C的時(shí)間為t₁，由幾何知識知：t₁=$\frac{5}{8}$T=$\frac{5πm}{4qB}$，
設(shè)粒子從進(jìn)入電場到返回C的時(shí)間為t₂，其在電場中做勻變速運(yùn)動(dòng)，
由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，有：qE=ma，2v₀=at₂，解得：t₂=$\frac{2m{v}_{0}}{qE}$，
設(shè)粒子再次進(jìn)入磁場后在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₃，由題意得：t₃=$\frac{1}{4}$T=$\frac{πm}{2qB}$，
粒子從A點(diǎn)到第三次穿越x軸的時(shí)間為：t=t₁+t₂+t₃=$\frac{7πm}{4qB}$+$\frac{2m{v}_{0}}{qE}$；
（3）粒子從第三次過x軸到第四次過x軸的過程是在電場中做類平拋的運(yùn)動(dòng)，
粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示：

答：（1）C點(diǎn)的坐標(biāo)為（-$\frac{（2+\sqrt{2}）mv}{2qB}$，0）；
（2）離子從A點(diǎn)出發(fā)到第三次穿越x軸時(shí)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為$\frac{7πm}{4qB}$+$\frac{2m{v}_{0}}{qE}$；               
（3）離子從第三次過x軸到第四次過x軸的過程在做類平拋運(yùn)動(dòng)，離子前四次穿越x軸在磁場和電場區(qū)域中的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示．

點(diǎn)評 本題是粒子在電場和磁場中運(yùn)動(dòng)的問題，電場中類平拋運(yùn)動(dòng)的研究方法是運(yùn)動(dòng)的分解，磁場中圓周運(yùn)動(dòng)的研究方法是畫軌跡．