Question

20．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，在O≤y≤b且x＞0的區(qū)域I內(nèi)分布著沿y軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度為E；在0≤y≤b且x＜0的區(qū)域II內(nèi)分布著沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度也為E；在y＞b的區(qū)域Ⅲ和y＜0的區(qū)域IV內(nèi)存在垂直于紙面向里、大小可調(diào)節(jié)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．質(zhì)量為m，電荷量為+q的粒子由P（b，0）點(diǎn)靜止釋放，經(jīng)電場(chǎng)加速和磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后又回到P點(diǎn)．已知粒子在磁場(chǎng)區(qū)域Ⅲ和Ⅳ中始終做軌道半徑為b的勻速圓周運(yùn)動(dòng)．粒子重力不計(jì)且不考慮磁場(chǎng)變化所引起的電場(chǎng)效應(yīng)．
（1）求粒子繞行第1圈又回到P點(diǎn)時(shí)獲得的動(dòng)能
（2）求粒子繞行第1圈又回到P點(diǎn)所用時(shí)間t
（3）為使粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)始終保持在半徑為b的圓軌道上，磁場(chǎng)必須不斷遞增，求區(qū)域Ⅲ磁感應(yīng)強(qiáng)度B和區(qū)域Ⅳ磁感應(yīng)強(qiáng)度之間應(yīng)滿足的比例關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動(dòng)能定理求解粒子繞行第1圈又回到P點(diǎn)時(shí)獲得的動(dòng)能．
（2）由動(dòng)能定理分別求出粒子電場(chǎng)區(qū)域I、Ⅱ后的速度，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解粒子經(jīng)過電場(chǎng)I區(qū)所用時(shí)間．由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合求出磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間，即可求得總時(shí)間．
（3）由動(dòng)能定理求出粒子第n次進(jìn)入磁場(chǎng)Ⅲ區(qū)時(shí)的速度，由牛頓第二定律得到粒子第n次在磁場(chǎng)Ⅲ區(qū)內(nèi)時(shí)B_n的表達(dá)式，再用同樣的方法求得粒子第n次進(jìn)入磁場(chǎng)Ⅳ區(qū)時(shí)的速度和粒子第n次在磁場(chǎng)Ⅳ區(qū)內(nèi) B_n′的表達(dá)式，即可求得解答．

解答 解：（1）粒子繞行第1圈獲得動(dòng)能為 E_k=2qEb
（2）粒子經(jīng)過電場(chǎng)區(qū)域I后的速度為v₁，則
  qEb=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
粒子經(jīng)過電場(chǎng)區(qū)域Ⅱ后的速度為v₂，則
  2qEb=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
粒子經(jīng)過電場(chǎng)I區(qū)所用時(shí)間  t₁=$\frac{\frac{{v}_{1}}{2}}$=$\sqrt{\frac{2mb}{qE}}$ 
粒子在磁場(chǎng)Ⅲ區(qū) R=b=$\frac{m{v}_{1}}{{B}_{1}q}$ 
  t₂=$\frac{T}{2}$=$\frac{πm}{{B}_{1}q}$=π$\sqrt{\frac{mb}{2qE}}$
粒子經(jīng)過電場(chǎng)Ⅱ區(qū)所用時(shí)間 t₃=$\frac{\frac{{v}_{1}+{v}_{2}}{2}}$=$\sqrt{\frac{4mb}{qE}}$-$\sqrt{\frac{2mb}{qE}}$
粒子在磁場(chǎng)Ⅳ區(qū) R=b=$\frac{m{v}_{2}}{{B}_{2}q}$
 t₄=$\frac{{T}_{2}}{2}$=$\frac{πm}{{B}_{2}q}$=$π\(zhòng)sqrt{\frac{mb}{4qE}}$
粒子繞行第1圈又回到P點(diǎn)時(shí)所用時(shí)間 t=t₁+t₂+t₃+t₄=$\sqrt{\frac{mb}{qE}}$（$\frac{\sqrt{2}+1}{2}π+2$）
（3）粒子第n次進(jìn)入磁場(chǎng)Ⅲ區(qū)時(shí)速度為v′，則 （2n-1）qEb=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
粒子第n次在磁場(chǎng)Ⅲ區(qū)內(nèi)  B_nqv=m$\frac{{v}^{2}}$
故B_n=$\frac{mv}{qb}$=$\frac{\sqrt{2（2n-1）qEbm}}{qb}$
粒子第n次進(jìn)入磁場(chǎng)Ⅳ區(qū)時(shí)速度為v′，則 2nqEb=$\frac{1}{2}mv{′}^{2}$
粒子第n次在磁場(chǎng)Ⅳ區(qū)內(nèi)，有 B_n′qv′=m$\frac{v{′}^{2}}$
故 B_n′=$\frac{mv′}{qb}$=$\frac{\sqrt{4nqEbm}}{qb}$
磁感應(yīng)強(qiáng)度B和磁感應(yīng)強(qiáng)度B′之間應(yīng)滿足 $\frac{B}{B′}$=$\frac{{B}_{n}}{{B}_{n}′}$=$\sqrt{\frac{2n-1}{2n}}$，（n=1，2，3…）
答：（1）粒子繞行第1圈又回到P點(diǎn)時(shí)獲得的動(dòng)能是2qEb．
（2）粒子繞行第1圈又回到P點(diǎn)所用時(shí)間t是$\sqrt{\frac{mb}{qE}}$（$\frac{\sqrt{2}+1}{2}π+2$）．
（3）區(qū)域Ⅲ磁感應(yīng)強(qiáng)度B和區(qū)域Ⅳ磁感應(yīng)強(qiáng)度之間應(yīng)滿足的比例關(guān)系式是$\frac{B}{B′}$=$\sqrt{\frac{2n-1}{2n}}$，（n=1，2，3…）．

點(diǎn)評(píng) 正確分析粒子的運(yùn)動(dòng)情況，運(yùn)用動(dòng)力學(xué)的基本方法：牛頓運(yùn)動(dòng)定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合是解決此類問題的基本思路．