Question

3．過山車是游樂場中常見的設施．如圖是一種過山車運動軌道的簡易模型，它由豎直平面內粗糙斜面軌道和光滑圓形軌道組成．過山車和斜面軌道間的動摩擦因數(shù)為μ，圓形軌道半徑為R，A點是圓形軌道與斜面軌道的切點．過山車（可視為質點）從傾角為θ的斜面軌道某一點由靜止開始釋放并順利通過圓形軌道．若整個過程中，人能承受過山車對他的作用力不超過其自身重力的8倍．求過山車釋放點距A點的距離范圍．

Answer 1

分析 當人剛好到達圓軌道最高點時，由重力充當向心力，由牛頓第二定律得到最高點的臨界速度，由動能定理求得過山車釋放點距A點最小距離．
人在圓軌道時對軌道的最低點壓力力最大，由牛頓第二定律求出速度，再由動能定理求解最大距離，從而得到距離的范圍．

解答 解：當人剛好到達圓軌道最高點時，由重力充當向心力，由牛頓第二定律得：
mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
由動能定理得：mg[s₀sinθ-R（1+cosθ）]-μmgs₀cosθ=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
聯(lián)立解得：s₀=$\frac{R（3+2cosθ）}{2（sinθ-μcosθ）}$
人在圓軌道時對軌道的最低點壓力最大，由牛頓第三定律得：軌道對人最大支持力為8mg
由牛頓第二定律得：8mg-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
由動能定理得：mg[s₁sinθ+R（1-cosθ）]-μmgs₁cosθ=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
聯(lián)立解得 s₁=$\frac{R（5+2cosθ）}{2（sinθ-μcosθ）}$
故過山車釋放點距A點的距離范圍為 $\frac{R（3+2cosθ）}{2（sinθ-μcosθ）}$≤s≤$\frac{R（5+2cosθ）}{2（sinθ-μcosθ）}$．
答：過山車釋放點距A點的距離范圍為 $\frac{R（3+2cosθ）}{2（sinθ-μcosθ）}$≤s≤$\frac{R（5+2cosθ）}{2（sinθ-μcosθ）}$．

點評 本題關鍵靈活地選擇過程運用動能定理列式，同時明確要完成的圓周運動，臨界條件是通過最高點時彈力為零．