Question

11．如圖所示，足夠長(zhǎng)的光滑平行金屬導(dǎo)軌MN和PK，傾角為a，間距為L(zhǎng)，在垂直于導(dǎo)軌平面的方向上加有如圖乙所示的周期性變化的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B₀，MP間接有阻值為R的電阻，質(zhì)量為m的金屬桿ab垂直導(dǎo)軌放置，其他電阻不計(jì)，在t=0時(shí)刻釋放金屬桿，金屬桿由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)0，在到達(dá)t=（2n-1）$\frac{T}{2}$（n=1，2，3…）時(shí)刻之前，金屬桿都已勻速運(yùn)動(dòng)，若在0～$\frac{T}{2}$時(shí)間內(nèi)，回路中產(chǎn)生的焦耳熱為Q₁，在t=$\frac{3}{2}$T時(shí)刻，金屬棒運(yùn)動(dòng)的位移為x，求：

（1）在0～$\frac{T}{2}$時(shí)間內(nèi)，金屬棒的最大速度；
（2）在0～$\frac{T}{2}$時(shí)間內(nèi)，金屬棒運(yùn)動(dòng)的位移；
（3）金屬棒運(yùn)動(dòng)5T時(shí)間時(shí)，回路中產(chǎn)生的焦耳熱．

Answer 1

分析 （1）達(dá)到最大速度時(shí)金屬棒受力平衡，根據(jù)重力的分力等于安培力即可求得最大速度；
（2）對(duì)0～$\frac{T}{2}$時(shí)間內(nèi)由功能關(guān)系可求得金屬棒產(chǎn)生的位移；
（3）分析棒運(yùn)動(dòng)的整過(guò)程，根據(jù)磁場(chǎng)的變化明確周期性，則可根據(jù)功能關(guān)系求得5T的產(chǎn)生焦耳熱．

解答 解：（1）達(dá)最大速度時(shí)有：
mgsinα=$\frac{{{B}_{0}}^{2}{L}^{2}v}{R}$
解得最大速度為：v=$\frac{mgRsinα}{{B}_{0}^{2}{L}^{2}}$；
（2）對(duì)下滑過(guò)程由動(dòng)能定理可知：
mgssinα=Q+$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：mgsssin=Q+$\frac{{{{m}^{3}g}^{2}R}^{2}si{n}^{2}α}{2{B}_{0}^{4}{L}^{4}}$
則有：s=$\frac{Q}{mgsinα}+\frac{{m}^{2}g{R}^{2}sinα}{2{B}_{0}^{4}{L}^{4}}$
（2）粒子在$\frac{T}{2}$～T時(shí)間內(nèi)，做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由題意可知，t=（2n-1）$\frac{T}{2}$（n=1，2，3…）時(shí)刻之前導(dǎo)體棒均已勻速運(yùn)動(dòng)，說(shuō)明導(dǎo)體在T～$\frac{3}{2}$T內(nèi)做減速運(yùn)動(dòng)速度；并且最大速度相同；
則對(duì)于0～$\frac{3}{2}T$過(guò)程由功能關(guān)系可知：
mgxsinα-Q₁-Q₂=$\frac{1}{2}$mv²；
即在T-$\frac{3}{2}$T時(shí)產(chǎn)生的熱量為：Q₂=mgxsinα-Q₁-$\frac{1}{2}$mv²；
此后重復(fù)$\frac{T}{2}$～$\frac{3T}{2}$的過(guò)程，5T內(nèi)經(jīng)歷了4個(gè)這樣的過(guò)程，故產(chǎn)生的總熱量為：
Q=Q₁+4Q₂=Q₁+4（mgxsinα-Q₁-$\frac{{{{m}^{3}g}^{2}R}^{2}si{n}^{2}α}{2{B}_{0}^{4}{L}^{4}}$）=4mgxsinα-3Q₁+4$\frac{{{{m}^{3}g}^{2}R}^{2}si{n}^{2}α}{2{B}_{0}^{4}{L}^{4}}$
答：（1）最大速度為$\frac{mgRsinα}{{B}_{0}^{2}{L}^{2}}$；
（2）下滑的位移為：$\frac{Q}{mgsinα}+\frac{{m}^{2}g{R}^{2}sinα}{2{B}_{0}^{4}{L}^{4}}$（3）金屬棒運(yùn)動(dòng)5T時(shí)間時(shí)，回路中產(chǎn)生的焦耳熱為4mgxsinα-3Q₁+4$\frac{{{{m}^{3}g}^{2}R}^{2}si{n}^{2}α}{2{B}_{0}^{4}{L}^{4}}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)體切割磁感線中的能量及受力問(wèn)題，要注意掌握分析能量轉(zhuǎn)化及守恒的方法，明確哪些能量在增加，哪些能量在減小，才能正確列式求解．