Question

20．如圖所示，一長L=4.5m、質(zhì)量m₁=1kg的長木板靜止在水平面上，與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₁=0.1．長木板B端距光滑水平軌道CD的C端距離S=7m，長木板的上表面與CD面等高．一小滑塊以v₀=9m/s的初速度滑上長木板的A端后長木板開始運(yùn)動(dòng)．小滑塊質(zhì)量m₂=2kg，與長木板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₂=0.4，長木板運(yùn)動(dòng)到C處時(shí)即被半圓粘連．水平軌道CD右側(cè)有一豎直光滑圓形軌道在D點(diǎn)與水平軌道平滑連接，圓心為O，半徑R=0.4m．一輕質(zhì)彈簧一端固定在O點(diǎn)的軸上，一端拴著一個(gè)質(zhì)量與小滑塊相等的小球，彈簧的原長為l₀=0.5m，勁度系數(shù)k=100N/m，不計(jì)小滑塊和小球的大小，取重力加速度的大小g=10m/s²．求：
（1）小滑塊剛滑上長木板時(shí)，長木板的加速度大小a₁和小滑塊的加速度大小a₂；
（2）長木板與水平軌道C端發(fā)生粘連前瞬間的速度v_t；
（3）小滑塊與小球在D點(diǎn)發(fā)生彈性碰撞后，小球隨即沿圓弧軌道運(yùn)動(dòng)，通過分析可知小球到達(dá)P點(diǎn)時(shí)離開圓軌道，求P、Q連線與豎直方向夾角θ的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)受力分析分別求2水平方向長木板和小滑塊受到的作用力，根據(jù)牛頓第二定律求出加速度的大��；
（2）根據(jù)計(jì)算判定未到達(dá)C時(shí)木板與滑塊的速度已大小相等，并一起勻減速運(yùn)動(dòng)至C點(diǎn)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)規(guī)律求解到達(dá)C時(shí)的速度大小；
（3）根據(jù)動(dòng)量守恒求得碰撞后小球的速度，再根據(jù)機(jī)械能守恒和合力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力求解到達(dá)P點(diǎn)時(shí)離開圓軌道時(shí)PQ連線與豎直方向的夾角的余弦．

解答 解：（1）由題意知滑塊帶動(dòng)長木板滑動(dòng)，先以滑塊為研究對象，長木板對滑塊的摩擦力使滑塊產(chǎn)生加速度，故有：
μ₂m₂g=m₂a₂
可得滑塊的加速度為：
${a}_{2}={μ}_{2}g=0.4×10m/{s}^{2}=4m/{s}^{2}$
長木板在滑塊和地面滑動(dòng)摩擦力共同作用下產(chǎn)生加速度有：
${a}_{1}=\frac{{μ}_{2}{m}_{2}g-{μ}_{1}（{m}_{1}+{m}_{2}）g}{{m}_{1}}=\frac{0.4×2×10-0.1（1+2）×10}{1}m/{s}^{2}$=5m/s²
（2）設(shè)滑塊和木板達(dá)到共同速度v₁時(shí)間為t
則v₁=a₁t
v₁=v₀-a₂t
代入數(shù)據(jù)解得$t=\frac{{v}_{0}}{{a}_{1}+{a}_{2}}=\frac{9}{5+4}s=1s$
v₁=5×1m/s=5m/s
此過程中長木板的位移為：${x}_{1}=\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}=\frac{1}{2}×5×{1}^{2}m＜S$
小滑塊的位移為：${x}_{2}=\frac{{v}_{1}+{v}_{0}}{2}=\frac{5+9}{2}m/s=7m/s$
滑塊與木板的位移差為：△x=x₂-x₁=7-2.5m=4.5m
因?yàn)椤鱴=L，所以滑塊剛好滑至長木板的右端時(shí)，兩者具有共同的速度，經(jīng)后長木板與滑塊一起做勻減速運(yùn)動(dòng)
加速度為：${a}_{3}=-{μ}_{1}g=-0.1×10m/{s}^{2}=-1m/{s}^{2}$，因?yàn)閨a₃|＜|a₂|，所以滑塊和長木板一起減速，設(shè)滑行到C處的速度為v_C，
根據(jù)速度位移關(guān)系有：${v}_{C}=\sqrt{{{v}_{1}}^{2}+2{a}_{3}（s-{x}_{1}）}=\sqrt{{5}^{2}+2×（-1）（7-2.5）}=4m/s$
即長木板與水平軌道C端發(fā)生粘連前瞬間的速度v_t為4m/s；
（3）小滑塊和小球質(zhì)量相同，在D處彈性碰撞后，兩球交換速度，小球以v_C=4m/s沿圓弧軌道向上運(yùn)動(dòng)，
設(shè)小球離開軌道時(shí)的速度為v
由機(jī)械能守恒有：$\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{C}^{2}-\frac{1}{2}m{v}^{2}={m}_{2}g（R+Rcosθ）$…①
根據(jù)牛頓第二定律有：${m}_{2}gcosθ-k（{l}_{0}-R）={m}_{2}\frac{{v}^{2}}{R}$…②
由①②式解得：cos$θ=\frac{5}{6}$
答：（1）小滑塊剛滑上長木板時(shí)，長木板的加速度大小a₁為5m/s²小滑塊的加速度大小a₂為4m/s²
（2）長木板與水平軌道C端發(fā)生粘連前瞬間的速度v_t為4m/s；
（3）小滑塊與小球在D點(diǎn)發(fā)生彈性碰撞后，小球隨即沿圓弧軌道運(yùn)動(dòng)，通過分析可知小球到達(dá)P點(diǎn)時(shí)離開圓軌道，P、Q連線與豎直方向夾角θ的余弦值為$\frac{5}{6}$．

點(diǎn)評 運(yùn)用整體法和隔離法分析物體運(yùn)動(dòng)時(shí)的受力由牛頓第二定律求得物體運(yùn)動(dòng)的加速度，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律是正確解題的關(guān)鍵．