Question

3．如圖所示，質量為m的滑塊在水平力作用下靜止在傾角為θ在光滑斜面上，斜面的末端B與長為L的水平傳送帶相接，傳送帶的運行速度為v₀；若將水平力撤去，滑塊滑到傳送帶右端C時，恰好與傳送帶速度相同．滑塊與傳送帶間的動摩擦因數(shù)為μ．求：
（1）水平作用力F大��；
（2）若滑塊沖上傳送帶時的速度小于傳送帶速度，求滑塊下滑高度；
（3）若滑塊沖上傳送帶速度大于傳送帶的速度，滑塊在傳送帶上滑行的整個過程中產生的熱量．

Answer 1

分析 （1）對滑塊受力分析，由共點力的平衡條件可得出水平作用力的大��；
（2）由于滑塊滑到B點的速度未知，故應分別對符合條件的兩種情況進行討論，由動能定理可求得滑塊下落的高度；
（3）熱量與滑塊和傳送帶間的相對位移成正比，即Q=fs，由運動學公式求得傳送帶通過的位移，即可求得相對位移．

解答 解：（1）滑塊受到水平推力F、重力mg和支持力N處于平衡，如圖所示
水平推力F=mgtanθ…①
（2）設滑塊從高為h處下滑，到達斜面底端速度為v
下滑過程機械能守恒：$\frac{1}{2}m{v}^{2}=mgh$ 
得：$v=\sqrt{2gh}$…②

若滑塊沖上傳送帶時的速度小于傳送帶速度，則滑塊在帶上由于受到向右的滑動摩擦力而做勻加速運動；根據(jù)動能定理有：
$μmgh=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}-\frac{1}{2}m{v}^{2}$…③
所以$h=\frac{{v}_{0}^{2}}{2g}-μL$…④
（3）若滑塊沖上傳送帶時的速度大于傳送帶的速度，則滑塊由于受到向左的滑動摩擦力而做勻減速運動；根據(jù)動能定理：
$μmgL=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}-\frac{1}{2}m{v}^{2}$…⑤
設滑塊在傳送帶上運動的時間為t，
則t時間內傳送帶的位移：s=v₀t…⑦
v₀=v-at…⑧
滑塊相對傳送帶滑動的位移△s=L-s…⑨
相對滑動生成的熱量Q=μmg•△s     ⑩
解得：$Q=μmgL-m{v}_{0}•（\sqrt{{v}_{0}^{2}+2μGL}-{v}_{0}）$
答：（1）水平作用力F大小是mgtanθ；
（2）若滑塊沖上傳送帶時的速度小于傳送帶速度，滑塊下滑高度是$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g}-μL$；
（3）若滑塊沖上傳送帶速度大于傳送帶的速度，滑塊在傳送帶上滑行的整個過程中產生的熱量是$μmgL-m{v}_{0}•（\sqrt{{v}_{0}^{2}+2μGL}-{v}_{0}）$．

點評 本題考查了動能定理及機械能守恒，在研究傳送帶問題時，要注意傳送帶與滑塊速度間的關系，從而確定出滑塊的運動情況； 注意熱量一般由摩擦力乘以相對位移求出．