已知函數(shù)f(x)=ax+x2-xln a-b(a,b∈R,a>1),e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)試判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上的單調(diào)性;
(2)當(dāng)a=e,b=4時(shí),求整數(shù)k的值,使得函數(shù)f(x)在區(qū)間(k,k+1)上存在零點(diǎn).
解:(1)f′(x)=axln a+2x-ln a=2x+(ax-1)ln a.
∵a>1,∴當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),ln a>0,
ax-1>0,
∴f′(x)>0,
∴函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.
(2)∵f(x)=ex+x2-x-4,∴f′(x)=ex+2x-1,∴f′(0)=0,當(dāng)x>0時(shí),ex>1,
∴f′(x)>0,
∴f(x)是(0,+∞)上的增函數(shù);
同理,f(x)是(-∞,0)上的減函數(shù).
又f(0)=-3<0,f(1)=e-4<0,
f(2)=e2-2>0,當(dāng)x>2時(shí),f(x)>0,
∴當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)f(x)的零點(diǎn)在(1,2)內(nèi),
∴k=1滿足條件;
f(0)=-3<0,f(-1)=-2<0,
f(-2)=+2>0,當(dāng)x<-2時(shí),f(x)>0,
∴當(dāng)x<0時(shí),函數(shù)f(x)的零點(diǎn)在(-2,-1)內(nèi),∴k=-2滿足條件.
綜上所述,k=1或-2.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
設(shè)f(x)與g(x)是定義在同一區(qū)間[a,b]上的兩個(gè)函數(shù),若函數(shù)y=f(x)-g(x)在x∈[a,b]上有兩個(gè)不同的零點(diǎn),則稱f(x)和g(x)在[a,b]上是“關(guān)聯(lián)函數(shù)”,區(qū)間[a,b]稱為“關(guān)聯(lián)區(qū)間”.若f(x)=x2-3x+4與g(x)=2x+m在[0,3]上是“關(guān)聯(lián)函數(shù)”,則m的取值范圍為________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
某大樓共有12層,有11人在第1層上了電梯,他們分別要去第2至第12層,每層1人.因特殊原因,電梯只允許停1次,只可使1人如愿到達(dá),其余10人都要步行到達(dá)所去的樓層.假設(shè)乘客每向下步行1層的“不滿意度”增量為1,每向上步行1層的“不滿意度”增量為2,10人的“不滿意度”之和記為S.則S最小時(shí),電梯所停的樓層是( )
A.7層 B.8層 C.9層 D.10層
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
已知函數(shù)f(x)=x-,g(x)=a(2-ln x)(a>0).若曲線y=f(x)與曲線y=g(x)在x=1處的切線斜率相同,求a的值,并判斷兩條切線是否為同一條直線.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo),其導(dǎo)函數(shù)是f′(x),且函數(shù)f(x)在x=-2處取得極小值,則函數(shù)y=xf′(x)的圖像可能是( )
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
已知f(x)=3x2-x+m,(x∈R),g(x)=ln x.
(1)若函數(shù)f(x)與g(x)的圖像在x=x0處的切線平行,求x0的值;
(2)求當(dāng)曲線y=f(x)與y=g(x)有公共切線時(shí),實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,求函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)在區(qū)間上的最值(用m表示).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
V在直角坐標(biāo)系中,O是原點(diǎn),A(,1),將點(diǎn)A繞O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到B點(diǎn),則B點(diǎn)坐標(biāo)為__________.
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