Question

已知函數(shù)f(x)＝a^x＋x²－xln a－b(a，b∈R，a>1)，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．

(1)試判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上的單調(diào)性；

(2)當(dāng)a＝e，b＝4時(shí)，求整數(shù)k的值，使得函數(shù)f(x)在區(qū)間(k，k＋1)上存在零點(diǎn)．

Answer 1

解：(1)f′(x)＝a^xln a＋2x－ln a＝2x＋(a^x－1)ln a.

∵a>1，∴當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，ln a>0，

a^x－1>0，

∴f′(x)>0，

∴函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．

(2)∵f(x)＝e^x＋x²－x－4，∴f′(x)＝e^x＋2x－1，∴f′(0)＝0，當(dāng)x>0時(shí)，e^x>1，

∴f′(x)>0，

∴f(x)是(0，＋∞)上的增函數(shù)；

同理，f(x)是(－∞，0)上的減函數(shù)．

又f(0)＝－3<0，f(1)＝e－4<0，

f(2)＝e²－2>0，當(dāng)x>2時(shí)，f(x)>0，

∴當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)在(1,2)內(nèi)，

∴k＝1滿足條件；

f(0)＝－3<0，f(－1)＝－2<0，

f(－2)＝＋2>0，當(dāng)x<－2時(shí)，f(x)>0，

∴當(dāng)x<0時(shí)，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)在(－2，－1)內(nèi)，∴k＝－2滿足條件．

綜上所述，k＝1或－2.