Question

已知函數(shù)（）.（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求的圖象在處的切線方程；（Ⅱ）若函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）若函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且，

求證：（其中是的導(dǎo)函數(shù)）．

Answer 1

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，，切點(diǎn)坐標(biāo)為，

切線的斜率，則切線方程為，即.   2分

（Ⅱ），則，

∵，故時(shí)，.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

故在處取得極大值. 4分

又，，，則，

∴在上的最小值是. 6分

在上有兩個(gè)零點(diǎn)的條件是解得，

∴實(shí)數(shù)的取值范圍是.   8分

（Ⅲ）∵的圖象與軸交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，

∴方程的兩個(gè)根為，則兩式相減得.又，，則.

下證（*），即證明，，

∵，∴，即證明在上恒成立.   10分

∵，又，∴，

∴在上是增函數(shù)，則，從而知，

故（*）式＜0，即成立