Question

圖中的三角形稱為希爾賓斯三角形，在下列四個三角形中，黑色三角形的個數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列{a_n}的前四項，依此著色方案繼續(xù)對三角形著色．

（1）數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=

 

；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=（

2

3

）ⁿ•a_n+1，記M=C

0 20

+C

1 20

+C

2 20

•b₁+C

3 20

•b₂+…+C

20 20

•b₁₉，則M的個位數(shù)字是

 

．

Answer 1

考點：歸納推理

專題：推理和證明

分析：（1）根據(jù)圖形的特點，每增加一個三角形應(yīng)在原來的基礎(chǔ)上再增加3倍個三角形，三角形的個數(shù)為：1，3，3×3，3×9…，歸納出第n圖形中三角形的個數(shù)．
（2）根據(jù)二項式定理得到C

0 20

+C

1 20

+C

2 20

•2+C

3 20

•2²+…+C

20 20

•2¹⁹=

1

2

×（1+3²⁰），再分別找出個數(shù)數(shù)字是2，5，4，1，四個一個周期，問題得以解決．

解答： 解：（1）由圖形得：
第2個圖形中有3個三角形，
第3個圖形中有3×3個三角形，
第4個圖形中有3×9個三角形，
以此類推：第n個圖形中有3^n-1個三角形．
故答案為：a_n=3^n-1，
（2）b_n=（

2

3

）ⁿ•a_n+1=（

2

3

）ⁿ•3ⁿ=2ⁿ．
∴C

0 20

+C

1 20

+C

2 20

•2+C

3 20

•2²+…+C

20 20

•2¹⁹=

1

2

（2C

0 20

+C

1 20

•2+C

2 20

•2²+C

3 20

•2³+…+C

20 20

•2²⁰）=

1

2

[1+（1+2）²⁰]=

1

2

×（1+3²⁰），
∵

1

2

×（1+3）=2，

1

2

×（1+3²）=5，

1

2

×（1+3³）=14，

1

2

×（1+3⁴）=41，

1

2

×（1+3⁵）=122，
∴個數(shù)數(shù)字是2，5，4，1，四個一個周期，
∵20÷4=5，
∴

1

2

×（1+3²⁰）的個數(shù)數(shù)字為1．
故答案為．（1）3^n-1（2）1

點評：本題利用圖形的特點，找出三角形增加的規(guī)律，進(jìn)行歸納推理，再利用等比數(shù)列公式求出第n個三角形的個數(shù)．以及根據(jù)二項式定理，屬于中檔題．