【題目】如圖,在四棱錐中,平面
平面
,
,
,
,點(diǎn)
為
上一點(diǎn)且
=
=
=
.
(1)求證:平面平面
;
(2)若直線與平面
所成的角的正弦值為
,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2).
【解析】
(1)由平面平面
可得
平面
,從而可得
,分別以
、
、
為
軸、
軸、
軸,建立空間直角坐標(biāo)系
,計(jì)算可得
,從而可證
平面
,即得所要證明的面面垂直.
(2)設(shè),可由直線
與平面
所成的角的正弦值為
得到
,再求出平面
的一個(gè)法向量后利用數(shù)量積可求法向量的夾角的余弦值,從而得到二面角的余弦值.
(1)證明:∵平面平面
,平面
平面
=
,
,
平面
,∴
平面
,
因?yàn)?/span>平面
,故
.又
.
分別以、
、
為
軸、
軸、
軸,
建立空間直角坐標(biāo)系,不妨設(shè)
,
可得,
設(shè),
∴,
,
.
由,
,
∴且
,
∵、
是平面
內(nèi)的相交直線,∴
平面
.
∵平面
,∴平面
平面
.
(2)由(1)得平面的一個(gè)法向量是
,
.
設(shè)直線與平面
所成的角為
,
則=
,
解得.∵
,∴
,可得
的坐標(biāo)為
.
設(shè)平面的一個(gè)法向量為
,
,
,
由,令
=
,得
.
∴.
由圖形可得二面角的平面角是銳角,
∴ 二面角的平面角的余弦值為
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,某森林公園內(nèi)有一條寬為100米的筆直的河道(假設(shè)河道足夠長(zhǎng)),現(xiàn)擬在河道內(nèi)圍出一塊直角三角形區(qū)域養(yǎng)殖觀賞魚(yú).三角形區(qū)域記為,
到河兩岸距離
,
相等,
,
分別在兩岸上,
.為方便游客觀賞,擬圍繞
區(qū)域在水面搭建景觀橋.為了使橋的總長(zhǎng)度
(即
的周長(zhǎng))最短,工程師設(shè)計(jì)了以下兩種方案:
方案1:設(shè),求出
關(guān)于
的函數(shù)解析式
,并求出
的最小值.
方案2:設(shè)米,求出
關(guān)于
的函數(shù)解析式
,并求出
的最小值.
請(qǐng)從以上兩種方案中自選一種解答.(注:如果選用了兩種解答方案,則按第一種解答計(jì)分)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐的底面
是矩形,平面
平面
,
,且
,點(diǎn)
為
中點(diǎn).
(1)證明:平面平面
;
(2)直線和平面
所成的角為
,求二面角
的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐P一ABCD中,AB=AD=2BC=2,BC∥AD,AB⊥AD,△PBD為正三角形.且PA=2.
(1)證明:平面PAB⊥平面PBC;
(2)若點(diǎn)P到底面ABCD的距離為2,E是線段PD上一點(diǎn),且PB∥平面ACE,求四面體A-CDE的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線C1的參數(shù)方程為
(
為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為
.
(1)求曲線C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程;
(2)已知曲線C3的極坐標(biāo)方程為,點(diǎn)A是曲線C3與C1的交點(diǎn),點(diǎn)B是曲線C3與C2的交點(diǎn),A、B均異于原點(diǎn)O,且
,求實(shí)數(shù)α的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某高中數(shù)學(xué)建模興趣小組的同學(xué)為了研究所在地區(qū)男高中生的身高與體重的關(guān)系,從若干個(gè)高中男學(xué)生中抽取了1000個(gè)樣本,得到如下數(shù)據(jù).
數(shù)據(jù)一:身高在(單位:
)的體重頻數(shù)統(tǒng)計(jì)
體重 ( | ||||||||
人數(shù) | 20 | 60 | 100 | 100 | 80 | 20 | 10 | 10 |
數(shù)據(jù)二:身高所在的區(qū)間含樣本的個(gè)數(shù)及部分?jǐn)?shù)據(jù)
身高 | |||||
平均體重 | 45 | 53.6 | 60 | 75 |
(1)依據(jù)數(shù)據(jù)一將上面男高中生身高在(單位:
)體重的頻率分布直方圖補(bǔ)充完整,并利用頻率分布直方圖估計(jì)身高在
(單位:
)的中學(xué)生的平均體重;(保留小數(shù)點(diǎn)后一位)
(2)依據(jù)數(shù)據(jù)一、二,計(jì)算身高(取值為區(qū)間中點(diǎn))和體重的相關(guān)系數(shù)約為0.99,能否用線性回歸直線來(lái)刻畫(huà)中學(xué)生身高與體重的相關(guān)關(guān)系,請(qǐng)說(shuō)明理由;若能,求出該回歸直線方程;
(3)說(shuō)明殘差平方和或相關(guān)指數(shù)與線性回歸模型擬合效果之間關(guān)系.(只需寫(xiě)出結(jié)論,不需要計(jì)算)
參考公式:,
.
參考數(shù)據(jù):(1);(2)
;(3)
,
,
;(4)
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】【選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程】
在直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)
為極點(diǎn),
軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線
的參數(shù)方程為
(
為參數(shù)),曲線
的極坐標(biāo)方程為
.
(1)寫(xiě)出直線的普通方程和曲線
的直角坐標(biāo)方程;
(2)若點(diǎn)的坐標(biāo)為
,直線
與曲線
交于
,
兩點(diǎn),求
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)為
,右準(zhǔn)線為
.點(diǎn)
是橢圓
上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn),連接
并延長(zhǎng)交橢圓
于點(diǎn)
,線段
的中點(diǎn)為
,
為坐標(biāo)原點(diǎn),且直線
與右準(zhǔn)線
交于點(diǎn)
.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若,求點(diǎn)
的坐標(biāo);
(3)試確定直線與橢圓
的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù),并說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為改善環(huán)境,節(jié)約資源,我國(guó)自2019年起在全國(guó)地級(jí)及以上城市全面啟動(dòng)生活垃圾分類,垃圾分類已成為一種潮流.某市一小區(qū)的主管部門(mén)為了解居民對(duì)垃圾分類的認(rèn)知是否與其受教育程度有關(guān),對(duì)該小區(qū)居民進(jìn)行了隨機(jī)抽樣調(diào)查,得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的列聯(lián)表:
知道如何對(duì)垃圾進(jìn)行分類 | 不知道如何對(duì)垃圾進(jìn)行分類 | 合計(jì) | |
未受過(guò)高等教育 | 10 | ||
受過(guò)高等教育 | |||
合計(jì) | 50 |
(1)求列聯(lián)表中的,
,
,
,
的值,并估計(jì)該小區(qū)受過(guò)高等教育的居民知道如何對(duì)垃圾進(jìn)行分類的概率;
(2)根據(jù)列聯(lián)表判斷能否有的把握認(rèn)為該小區(qū)居民對(duì)垃圾分類的認(rèn)知與其受教育程度有關(guān)?
參考數(shù)據(jù)及公式:
,其中
.
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