Question

已知函數(shù)f（x）=f′（1）e^x-1-f（0）x+

1

2

x²，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，f′（x）為f（x）的導函數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=

1

2

x²+a與函數(shù)f（x）的圖象在區(qū)間[-1，2]上恰有兩個不同的交點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,導數(shù)的運算

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）由已知得f′（x）=f′（1）e^x-1-f（0）+x，令x=1，得f（0）=1．又f（0）=

f′(1)

e

，由此能求出f（x）=e^x-x+

1

2

x2．
（Ⅱ）由f（x）=g（x）得a=e^x-x．構造函數(shù)h（x）=e^x-x，則h′（x）=e^x-1，由此利用導數(shù)性質(zhì)能求出兩個圖象恰有兩個不同的交點時，實數(shù)a的取值范圍是（1，1+

1

e

]．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得f′（x）=f′（1）e^x-1-f（0）+x，
令x=1，得f′（1）=f′（1）-f（0）+1，
即f（0）=1．…（2分）
又f（0）=

f′(1)

e

，所以f′（1）=e．
從而f（x）=e^x-x+

1

2

x2．…（4分）
（Ⅱ）由f（x）=g（x）得a=e^x-x．
令h（x）=e^x-x，則h′（x）=e^x-1．…（6分）
由h′（x）=0，得x=0．
所以當x∈（-1，0）時，h′（x）＜0；
當x∈（0，2）時，h′（x）＞0．
∴h（x）在（-1，0）上單調(diào)遞減，
在（0，2）上單調(diào)遞增．…（8分）
又h（0）=1，h（-1）=1+

1

e

，h（2）=e²-2，
且h（-1）＜h（2）．…（10分）
∴兩個圖象恰有兩個不同的交點時，實數(shù)a的取值范圍是（1，1+

1

e

]．…（12分）

點評：本題主要考查函數(shù)與導數(shù)等基礎知識，考查運算求解能力、推理論證能力，考查分類與整合思想、數(shù)形結合思想、函數(shù)與方程思想、化歸與轉化思想等．