Question

設函數(shù)f（x）=xⁿ+bx+c （n∈N₊，b，c∈R）
（1）設n=2，b=1，c=-1，證明：f（x）在區(qū)間（

1

2

，1）內存在唯一零點；
（2）設n為偶數(shù)，|f（-1）|≤1，|f（1）|≤1，求b+3c的最大值和最小值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）由已知得f（x）=x²+x-1，f'（x）=2x+1，由此利用導數(shù)性質和零點存在性定理能證明f（x）在區(qū)間（

1

2

，1）內存在唯一零點．
（2）由已知得-2≤-b+c≤0，-2≤b+c≤0，從而得到b+3c=（-b+c）+2（b+c）∈[-6，0]，由此能求出b+3c的最大值和最小值．

解答： （1）證明：若n=2，b=1，c=-1，則f（x）=x²+x-1
∴f'（x）=2x+1，
當x∈(

1

2

，1)時f'（x）＞0，∴f（x）在（

1

2

，1）上是增函數(shù)，
∵f（

1

2

）=

1

4

+

1

2

-1＜0，
f（1）=1+1-1＞0
由零點存在性定理知f（x）在區(qū)間（

1

2

，1）內存在唯一零點．
（2）解：∵n 為偶數(shù)，
∴|f（-1）|=|1-b+c|≤1，
|f（1）|=|1+b+c|≤1，
∴-2≤-b+c≤0，-2≤b+c≤0
∴-4≤2（b+c）≤0，
∴b+3c=（-b+c）+2（b+c）∈[-6，0]
故b+3c的最大值為0，最小值為-6．

點評：考查學生利用導數(shù)研究函數(shù)極值的能力，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性的能力，解題要認真審題，注意導數(shù)性質和零點存在性定理的合理運用．