Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，當n≥2時，其前n項和S_n滿足S_n²=a_n（S_n-

1

2

）
（1）證明：（

1

Sn

）是等差數(shù)列
（2）設(shè)b_n=

Sn

2n+1

）n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用a_n=S_n-S_n-1（n≥2）將Sn2=an(Sn-

1

2

)，轉(zhuǎn)化為Sn2=(Sn-Sn-1)(Sn-

1

2

)，得出

1

Sn

-

1

Sn-1

=2，利用定義證明{

1

Sn

}是等差數(shù)列
（2）由（1）得出bn=

Sn

2n+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，裂項后計算化簡求和．

解答： 解：（1）證明：由Sn2=an(Sn-

1

2

)，a_n=S_n-S_n-1（n≥2）
得Sn2=(Sn-Sn-1)(Sn-

1

2

)
即2S_nS_n-1=S_n-1-S_n
由題意知S_nS_n-1≠0，所以有

1

Sn

-

1

Sn-1

=2
所以(

1

Sn

)是以

1

S1

=

1

a1

=1為首項，公差為2的等差數(shù)列．
（2）由（1）可得

1

Sn

=1+2(n-1)=2n-1…所以Sn=

1

2n-1

所以bn=

Sn

2n+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
所以T_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

2

(1-

1

3

)+

1

2

(

1

3

-

1

5

)+…+

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

點評：本題考查數(shù)列的判定，通項公式，和的計算，考查轉(zhuǎn)化構(gòu)造，計算能力．本題中的數(shù)列求和法為裂項法．