Question

已知函數(shù)f（x）=4x³+ax²+bx+5在x=-1與x=

3

2

處有極值．
（1）寫出函數(shù)的解析式；
（2）求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； 
（3）求f（x）在[-1，2]上的最值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后f′（-1）=0，f′（

3

2

）=0，解出a、b的值，即可寫出函數(shù)的解析式；
（2）利用導(dǎo)數(shù)的正負，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）確定函數(shù)在[-1，2]上的單調(diào)性，即可求f（x）在[-1，2]上的最值．

解答： 解：（1）f′（x）=12x²+2ax+b，依題意有f′（-1）=0，f（

3

2

）=0，
即

12-2a+b=0 27+3a+b=0

，得

a=-3 b=-18

，
所以f（x）=4x³-3x²-18x+5；
（2）f′（x）=12x²-6x-18＜0，
∴（-1，

3

2

）是函數(shù)的減區(qū)間，（-∞，-1），（

3

2

，+∞）是函數(shù)的增區(qū)間；
（3）函數(shù)在[-1，

3

2

]上單調(diào)遞減，在[

3

2

，2]上單調(diào)遞增，
∴f（x）_max=f（-1）=16，f（x）_min=f（

3

2

）=-

61

4

．

點評：此題主要考查多項式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)單調(diào)性的判定，函數(shù)最值，函數(shù)、方程等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、推理論證能力及分析與解決問題的能力，難度不大．