Question

（本小題滿分14分）

如圖7，已知橢圓：的離心率為，以橢圓的左頂點為

圓心作圓：，設圓與橢圓交于點與點．

（1）求橢圓的方程；

（2）求的最小值，并求此時圓的方程；

（3）設點是橢圓上異于的任意一點，且直線分別與軸交于點

，為坐標原點，求證：為定值．

 

 

Answer 1

【答案】

 

解：（1）依題意，得，，

；

故橢圓的方程為 ．                ………………………………………3分

（2）方法一：點與點關于軸對稱，設，， 不妨設．

由于點在橢圓上，所以．     （*）          ……………………4分         

由已知，則，，

 

．                    ……………………………………6分

由于，故當時，取得最小值為．

由（*）式，，故，又點在圓上，代入圓的方程得到．  

故圓的方程為：．                         ……………………8分

方法二：點與點關于軸對稱，故設，

不妨設，由已知，則

 

．        ……………………………………………………6分

故當時，取得最小值為，此時，

又點在圓上，代入圓的方程得到．  

故圓的方程為：．                         ……………………8分

(3) 方法一：設，則直線的方程為：，

令，得， 同理：，    ……………………10分

故      （**）                     ……………………11分

又點與點在橢圓上，故，，……………………12分

代入（**）式，得：

        ．

所以為定值．               ……………………14分

方法二：設，不妨設，，其中．則直線的方程為：，

令，得，

同理：，                 …………………………12分

故．

所以為定值．               ……………………14分

 

【解析】略