（2011•廣東模擬）（本小題滿(mǎn)分14分 已知函數(shù)f(x)=
3
sin2x+2sin(
π
4
+x)cos(
π
4
+x)．
（I）化簡(jiǎn)f（x）的表達(dá)式，并求f（x）的最小正周期；
（II）當(dāng)x∈[0，
π
2
]  時(shí)，求函數(shù)f(x)的值域．
分析：（I）利用角函數(shù)的恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）的解析式為2sin(2x+
π
6
)，由此根據(jù)周期公式即可求得f（x）的最小正周期．
（II）當(dāng) x∈[0，
π
2
] 時(shí)，2x+
π
6
∈[
π
6
，
7π
6
]，求出sin(2x+
π
6
)的范圍，即可求得函數(shù)f（x）的值域．
解答：解：（I）∵f(x)=
3
sin2x+sin(
π
2
+2x)…（3分）
=
3
sin2x+cos2x…（4分）
=2sin(2x+
π
6
)．…（6分）
故f（x）的最小正周期為π．…（8分）
（II）當(dāng)x∈[0，
π
2
]時(shí)，2x+
π
6
∈[
π
6
，
7π
6
]，…（10分）
故sin(2x+
π
6
)∈[-
1
2
，1]，…（12分）
故函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-1，2]． …（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性，三角函數(shù)的周期性以及求法，屬于中檔題．
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（2011•廣東模擬）給定函數(shù)f(x)=
x2
2(x-1)

（1）試求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）已知各項(xiàng)均為負(fù)的數(shù)列{an}滿(mǎn)足，4Sn•f(
1
an
)=1，求證：-
1
an+1
＜ln
n+1
n
＜-
1
an
；
（3）設(shè)bn=-
1
an
，Tn為數(shù)列 {bn} 的前n項(xiàng)和，求證：T2012-1＜ln2012＜T2011．

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（2011•廣東模擬）已知集合M={y|y=x2-1，x∈R}，N={x|y=
2-x2
}，則M∩N=（　�。�

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（2011•廣東模擬）已知函數(shù)f（x）=
a-x
+
x
（a∈N*），對(duì)定義域內(nèi)任意x1，x2，滿(mǎn)足|f（x1）-f（x2）|＜1，則正整數(shù)a的取值個(gè)數(shù)是
5
5
．

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1
x
)(y+
1
y
)的最小值為
25
4
25
4
．

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