Question

如圖，拋物線C的頂點為坐標原點O，焦點F在y軸上，準線l與圓x²+y²=1相切．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）已知直線m和拋物線C交于點A、B，命題P：“若直線m過定點（0，1），則

OA

•

OB

=-3”，請判斷命題P的真假，并證明．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設拋物線C的方程為：x²=2py，p＞0，由已知條件得圓心（0，0）到直線l的距離d=|0-（-

p

2

）|=1，由此能求出拋物線線C的方程．
（Ⅱ）設直線m：y=kx+1，交點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立拋物線C的方程x²=4y，得x²-4kx-4=0，△=16k²+16＞0恒成立，由此利用韋達定理能證明命題P為真命題．

解答： 解：（Ⅰ）依題意，可設拋物線C的方程為：x²=2py，p＞0，
其準線l的方程為：y=-

p

2

．
∵準線l與圓x²+y²=1相切．
∴圓心（0，0）到直線l的距離d=|0-（-

p

2

）|=1，
解得p=2．…4分
故拋物線線C的方程為：x²=4y．…5分
（Ⅱ）命題p為真命題
因為直線m和拋物線C交于A，B且過定點（0，1），
所以直線m的斜率k一定存在，…6分
設直線m：y=kx+1，交點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立拋物線C的方程x²=4y，
得x²-4kx-4=0，△=16k²+16＞0恒成立，…8分
由韋達定理得x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，…9分

OA

•

OB

=-4+

1

16

•（-4）²=-3，
∴命題P為真命題．…12分．

點評：本題考查拋物線方程的求法，考查命題真假的判斷和證明，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．