Question

（1）已知x，y，z均為正數(shù)，求證：

x

yz

+

y

zx

+

z

xy

≥

1

x

+

1

y

+

1

z

；
（2）設(shè)a，b為正數(shù)，且a+b=1，求證：（

1

a2

-1）（

1

b2

-1）≥9．

Answer 1

考點(diǎn)：不等式的證明

專題：證明題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）運(yùn)用基本不等式證得

x

yz

+

y

zx

≥

2

z

，

y

zx

+

z

xy

≥

2

x

，

z

xy

+

x

yz

≥

2

y

，將三式相加即可證得；
（2）運(yùn)用分析法證明，要證：（

1

a2

-1）（

1

b2

-1）≥9．結(jié)合a+b=1，化簡(jiǎn)整理，即證ab≤

1

4

，再由基本不等式的推論ab≤（

a+b

2

）²得證．

解答： 證明：（1）∵x，y，z均為正數(shù)，
∴

x

yz

+

y

zx

=

1

z

（

x

y

+

y

x

）≥

2

z

，
同理可得

y

zx

+

z

xy

≥

2

x

，

z

xy

+

x

yz

≥

2

y

，
當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z時(shí)，以上三式等號(hào)都成立，
將上述三個(gè)不等式兩邊分別相加，并除以2，得，

x

yz

+

y

zx

+

z

xy

≥

1

x

+

1

y

+

1

z

；
（2）（分析法）要證：（

1

a2

-1）（

1

b2

-1）≥9．
即證：

(1-a2)(1-b2)

a2b2

≥9，
即證：（1-a）（1+a）（1-b）（1+b）≥9a²b²，由于a+b=1，
即證：（1+a）（1+b）≥9ab，
即證：ab+a+b+1≥9ab，
將a+b=1代入上式化簡(jiǎn)得，
即證ab≤

1

4

由ab≤（

a+b

2

）²得證．
（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=

1

2

取等號(hào)）

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明方法：分析法、綜合法和作差法等，考查基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．