Question

已知定理：“若a，b為常數(shù)，g（x）滿足g（a+x）+g（a﹣x）=2b，則函數(shù)y=g（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（a，b）中心對(duì)稱”．設(shè)函數(shù)，定義域?yàn)锳．（1）試證明y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（a，﹣1）成中心對(duì)稱；

（2）當(dāng)x∈[a﹣2，a﹣1]時(shí)，求證：；（3）對(duì)于給定的x₁∈A，設(shè)計(jì)構(gòu)造過程：x₂=f（x₁），x₃=f（x₂），…，x_n+1=f（x_n）．如果x_i∈A（i=2，3，4…），構(gòu)造過程將繼續(xù)下去；如果x_i∉A，構(gòu)造過程將停止．若對(duì)任意x₁∈A，構(gòu)造過程都可以無限進(jìn)行下去，求a的值．

Answer 1

（1）∵，∴．

由已知定理，得y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（a，﹣1）成中心對(duì)稱．（3分）

（2）先證明f（x）在[a﹣2，a﹣1]上是增函數(shù)，只要證明f（x）在（﹣∞，a）上是增函數(shù)．

設(shè)﹣∞＜x₁＜x₂＜a，則，

∴f（x）在（﹣∞，a）上是增函數(shù)．再由f（x）在[a﹣2，a﹣1]上是增函數(shù)，得

當(dāng)x∈[a﹣2，a﹣1]時(shí)，f（x）∈[f（a﹣2），f（a﹣1）]，即．（7分）

（3）∵構(gòu)造過程可以無限進(jìn)行下去，∴對(duì)任意x∈A恒成立．∴方程無解，即方程（a+1）x=a²+a﹣1無解或有唯一解x=a．∴或由此得到a=﹣1（13分）