Question

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面邊長為2，側棱長為

2

，D、D₁分別為AB、A₁B₁的中點，C1D₁中點為P，DD₁中點為Q．
（Ⅰ）求證：PQ∥平面ABC₁；
（Ⅱ）求三棱錐Q-ABC₁的體積．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）連接C₁D，利用中位線的性質證明出PQ∥C₁D，進而根據線面平行的判定定理證明出PQ∥平面ABC₁．
（Ⅱ）利用等體積法先求得幾何體C₁-ABQ，通過求得底面ABQ的面積，最后利用體積公式求得答案．

解答： （Ⅰ）證明：連接C₁D，
∵P，Q分別為C₁D₁，DD₁中點，
∴PQ∥C₁D，
∵PQ?平面ABC₁，C₁D?平面ABC₁，
∴PQ∥平面ABC₁．
（Ⅱ）VQ-ABC1=VC1-ABQ=

1

3

S_△ABQ•C₁D₁，
∵在△A₁B₁C₁中，C₁D₁=

3

2

A₁B₁=

3

，
S_△ABQ=

1

2

AB•DQ=

1

2

×2×

2

2

=

2

2

，
∴VQ-ABC1=

1

3

×

2

2

×

3

=

6

6

．

點評：本題主要考查了線面平行的判定定理的應用，棱柱的體積的計算．考查了學生綜合分析的能力和觀察能力．