Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³-

1

2

（2a+1）x²+（a²+a）x．
（I）若a=1，求f（x）在區(qū)間[0，3]上的值域；
（Ⅱ）若g（x）=f（x）+ax²-a²x，求函數(shù)g（x）的極值點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）先求出f′（x）=x²-3x+2=0，從而得出f（x）在（-∞，1），（2，+∞）遞增，在（1，2）遞減，進(jìn)而求出f（x）∈[0，

3

2

]；
（Ⅱ）由g（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+ax，得g′（x）=x²-x+a，由△=1-4a≤0，得a≥

1

4

，得g（x）在R上單調(diào)遞增，函數(shù)無極值；當(dāng)a＜

1

4

時(shí)，g（x）在（-∞，

1- 1-4a

2

）上遞增，（

1- 1-4a

2

，

1+ 1-4a

2

）上遞減，（

1+ 1-4a

2

，+∞）上遞增，極大值點(diǎn)為

1- 1-4a

2

，極小值點(diǎn)為

1+ 1-4a

2

．

解答： 解：（Ⅰ）∵f′（x）=x²-3x+2=0，
令f′（x）＞0，解得：x＞2，x＜1，
令f′（x）＜0，解得：1＜x＜2，
∴f（x）在（-∞，1），（2，+∞）遞增，在（1，2）遞減，
又f（0）=0，f（1）=

5

6

，f（2）=

2

3

，f（3）=

3

2

，
∴f（x）∈[0，

3

2

]；
（Ⅱ）∵g（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+ax，
∴g′（x）=x²-x+a，
由△=1-4a≤0，得a≥

1

4

，g′（x）≥0恒成立，g（x）在R上單調(diào)遞增，函數(shù)無極值；
當(dāng)a＜

1

4

時(shí)，g（x）在（-∞，

1- 1-4a

2

）上遞增，（

1- 1-4a

2

，

1+ 1-4a

2

）上遞減，（

1+ 1-4a

2

，+∞）上遞增，
極大值點(diǎn)為

1- 1-4a

2

，極小值點(diǎn)為

1+ 1-4a

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的極值問題，考察導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道綜合題．