Question

如圖2-3所示，已知點A(2,8)，B(x ₁ ,y ₁ ),C(x ₂ ,y ₂ )在拋物線y ² =2px上，△ABC的重心與此拋物線的焦點F重合.

  圖2-3

(1)寫出該拋物線的方程和焦點F的坐標(biāo)；

(2)求線段BC中點M的坐標(biāo)；

(3)求BC所在直線的方程.

Answer 1

 解 : (1)由點A(2，8)在拋物線y ² =2px上，有

8 ² =2p·2,解得p=16.

所以拋物線方程為y ² =32x，焦點F的坐標(biāo)為(8，0)；

(2)如圖，由F(8，0)是△ABC的重心，M是BC的中點，所以F是線段AM的定比分點，且 =2，設(shè)點M的坐標(biāo)為(x ₀ ,y ₀ )，則 =8， =0,

解得x ₀ =11,y ₀ =-4  所以點M的坐標(biāo)為(11，-4)；

(3)由于線段BC的中點M不在x軸上，所以BC所在的直線不垂直于x軸.

設(shè)BC所成直線的方程為y+4=k(x-11)(k≠0),

由 消x得ky ² -32y-32(11k+4)=0,

所以y ₁ +y ₂ = ,由(Ⅱ)的結(jié)論得 =-4，解得k=-4,

因此BC所在直線的方程為y+4=-4(x-11),即4x+y-40=0.