Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的圖象與x軸的交點中，相鄰兩個交點之間的距離為

π

2

，且圖象上一個最高點為M（

π

6

，3）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）先把函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移

π

6

個單位長度，然后再把所得圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=g（x）的圖象，試寫出函數(shù)y=g（x）的解析式．
（3）在（2）的條件下，若總存在x₀∈[-

π

3

，

2π

3

]，使得不等式g（x₀）+2≤log₃m成立，求實數(shù)m的最小值．

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）依題意知

1

2

T=

π

2

，由此可求得ω=2；又函數(shù)f（x）=Asin（2x+φ）圖象上一個最高點為M（

π

6

，3），可知A=3，2×

π

6

+φ=2kπ+

π

2

（k∈Z），結(jié)合0＜φ＜

π

2

可求得φ，從而可得f（x）的解析式；
（2）利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換可求得函數(shù)y=g（x）的解析式；
（3）x₀∈[-

π

3

，

2π

3

]⇒-

1

2

≤cosx₀≤1，-

3

2

≤3cosx₀≤3，依題意知，log₃m≥（-

3

2

）+2=

1

2

，從而可求得實數(shù)m的最小值．

解答： 解：（1）∵

1

2

T=

π

2

，
∴T=

2π

ω

=π，解得ω=2；
又函數(shù)f（x）=Asin（2x+φ）圖象上一個最高點為M（

π

6

，3），
∴A=3，2×

π

6

+φ=2kπ+

π

2

（k∈Z），
∴φ=2kπ+

π

6

（k∈Z），又0＜φ＜

π

2

，
∴φ=

π

6

，
∴f（x）=3sin（2x+

π

6

）；
（2）把函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移

π

6

個單位長度，得到f（x+

π

6

）=3sin[2（x+

π

6

）+

π

6

]=3cos2x；
然后再把所得圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=g（x）=3cosx的圖象，
即g（x）=3cosx；
（3）∵x₀∈[-

π

3

，

2π

3

]，∴-

1

2

≤cosx₀≤1，-

3

2

≤3cosx₀≤3，
依題意知，log₃m≥（-

3

2

）+2=

1

2

，
∴m≥

3

，即實數(shù)m的最小值為

3

．

點評：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換及函數(shù)恒成立問題，屬于中檔題．