Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁為常數(shù)，且a_n+1=3ⁿ﹣2a_n（n∈N⁺）．

（1）證明：{a_n﹣}是等比數(shù)列；

（2）若a₁=，{a_n}中是否存在連續(xù)三項(xiàng)成等差數(shù)列？若存在，寫(xiě)出這三項(xiàng)，若不存在說(shuō)明理由．

（3）若{a_n}是遞增數(shù)列，求a₁的取值范圍．

Answer 1

解答： （1）證明：因?yàn)?sub>==﹣2，

所以數(shù)列{a_n﹣}是等比數(shù)列；

（2）解：{a_n﹣}是公比為﹣2，首項(xiàng)為a₁﹣=的等比數(shù)列．

通項(xiàng)公式為a_n=+（a₁﹣）（﹣2）^n﹣1=+

若{a_n}中存在連續(xù)三項(xiàng)成等差數(shù)列，則必有2a_n+1=a_n+a_n+2，

即

解得n=4，即a₄，a₅，a₆成等差數(shù)列． 

（3）解：如果a_n+1＞a_n成立，

即＞+（a₁﹣）（﹣2）^n﹣1對(duì)任意自然數(shù)均成立．

化簡(jiǎn)得，

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，

因?yàn)?sub>是遞減數(shù)列，

所以p（n）_max=p（2）=0，即a₁＞0；    

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，

因?yàn)?sub>是遞增數(shù)列，

所以q（n）_min=q（1）=1，即a₁＜1；

故a₁的取值范圍為（0，1）．