Question

已知數(shù)列滿足，，，且．

（1）求證：當時，數(shù)列為等比數(shù)列；

（2）如果，求數(shù)列的前項和；

（3）如果表示不超過的最大整數(shù)，當時，求數(shù)列的通項公式．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）；（3）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題意構造新數(shù)列，利用證明新數(shù)列的后一項與前一項之比為常數(shù)即可；（2）利用分組求和法與錯位相減法進行求和；（3）找出的通項，利用二項式定理進行求解.

試題解析：（1）當時，設，

則 當時，．

因為 ，

所以 為常數(shù)．

因為 ，

所以 數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列． 4分

（2）由（1）知 時為首項為，公比為的是等比數(shù)列，

所以． ．

設，

則．

相減得．

設，

．

即． 9分

（3）由（1）可知．

設，

由二項式定理可知為整數(shù)，

所以 ．

所以.

考點：1.數(shù)列的遞推公式；2.等差數(shù)列；3.錯位相減法；4.二項式定理.