Question

如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處下山至C處有兩種路徑．一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50 m/min.在甲出發(fā)2 min后，乙從A乘纜車到B，在B處停留1 min后，再從B勻速步行到C.假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度為130 m/min，山路AC長為1 260 m，經(jīng)測量，cos A＝，cos C＝.

(1)求索道AB的長；

(2)問：乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？

(3)為使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過3分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？

Answer 1

解：(1)在△ABC中，

因?yàn)閏os A＝，cos C＝，

所以sin A＝，sin C＝.

從而sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)

＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝.

由正弦定理＝，

得AB＝·sin C＝×＝1 040(m)．

所以索道AB的長為1 040 m.

(2)假設(shè)乙出發(fā)t min后，甲、乙兩游客距離為d，

此時(shí)，甲行走了(100＋50t) m，乙距離A處130t m，

所以由余弦定理得

d²＝(100＋50t)²＋(130t)²－2×130t×(100＋50t)×＝200(37t²－70t＋50)．

由于0≤t≤，即0≤t≤8，

故當(dāng)t＝(min)時(shí)，甲、乙兩游客距離最短．

(3)由正弦定理＝，

得BC＝·sin A＝×＝500(m)．

乙從B出發(fā)時(shí)，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，

還需走710 m才能到達(dá)C.

設(shè)乙步行的速度為v m/min，由題意得－3≤－≤3，解得≤v≤，

所以為使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過3 min，

乙步行的速度應(yīng)控制在，(單位：m/min)范圍內(nèi)．