Question

各項為正數(shù)的數(shù)列{a_n}滿足＝4S_n−2a_n−1（n∈N^*），其中S_n為{a_n}前n項和．
（1）求a₁，a₂的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）是否存在正整數(shù)m、n，使得向量=（2a_n+2，m）與向量=（−a_n+5，3+a_n）垂直？說明理由．

Answer 1

解：（1）當n=1時，＝4S₁−2a₁−1，化簡得(a₁−1)²＝0，解之得a₁=1
當n=2時，＝4S₂−2a₂−1=4（a₁+a₂）-2a₂-1
將a₁=1代入化簡，得a₂²−2a₂−3＝0，解之得a₂=3或-1（舍負）
綜上，a₁、a₂的值分別為a₁=1、a₂=3；
（2）由＝4S_n−2a_n−1…①，＝4S_n+1−2a_n+1−1…②
②-①，得−＝4a_n+1−2a_n+1+2a_n＝2(a_n+1+a_n)
移項，提公因式得（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-2）=0
∵數(shù)列{a_n}的各項為正數(shù)，∴a_n+1+a_n＞0，可得a_n+1-a_n-2=0
因此，a_n+1-a_n=2，得數(shù)列{a_n}構成以1為首項，公差d=2的等差數(shù)列
∴數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=1+2（n-1）=2n-1；
（3）∵向量=（2a_n+2，m）與向量=（-a_n+5，3+a_n）
∴結(jié)合（2）求出的通項公式，得=（2（2n+3），m），=（-（2n+9），2n+2）
若向量⊥，則•=-2（2n+3）（2n+9）+m（2n+2）=0
化簡得m=4（n+1）+16+
∵m、n是正整數(shù)，∴當且僅當n+1=7，即n=6時，m=45，可使⊥符合題意
綜上所述，存在正整數(shù)m=45、n=6，能使向量=（2a_n+2，m）與向量=（-a_n+5，3+a_n）垂直．