Question

在（a-x³）（1+x）¹⁰的展開式中，x⁵的系數(shù)為207，則x⁶的系數(shù)為

 

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Answer 1

考點：二項式系數(shù)的性質(zhì)

專題：綜合題,二項式定理

分析：先將多項式展開，分析可得（1-x³）（1+x）¹⁰展開式中的x⁵的系數(shù)是a（1+x）¹⁰的展開式中的x⁵的系數(shù)減去（1+x）¹⁰的x²的系數(shù)，利用二項式定理可得（1+x）¹⁰展開式的含x⁵的系數(shù)與含x²的系數(shù)，相減可求a，再求出x⁶的系數(shù)．

解答： 解：（a-x³）（1+x）¹⁰=a（1+x）¹⁰-x³（1+x）¹⁰
則（1-x³）（1+x）¹⁰展開式中的x⁵的系數(shù)是a（1+x）¹⁰的展開式中的x⁵的系數(shù)減去（1+x）¹⁰的x²的系數(shù)，
由二項式定理，（1+x）¹⁰的展開式的通項為T_r+1=C₁₀^rx^r
令r=5，得a（1+x）¹⁰展開式的含x⁵的系數(shù)為aC₁₀⁵，
令r=2，得其展開式的含x²的系數(shù)為C₁₀²
則x⁵的系數(shù)是aC₁₀⁵-C₁₀²=252a-45=207，
∴a=1，
∴x⁶的系數(shù)為（1+x）¹⁰的展開式中的x⁶的系數(shù)減去（1+x）¹⁰的x³的系數(shù)，即C₁₀⁶-C₁₀³=90．
故答案為：90．

點評：本題考查利用二項展開式定理解決二項展開式的特定項問題，解題的關(guān)鍵在于多項式的展開、整理變形．