Question

（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分．
從數(shù)列中取出部分項，并將它們按原來的順序組成一個數(shù)列，稱之為數(shù)列的一個子數(shù)列．
設(shè)數(shù)列是一個首項為、公差為的無窮等差數(shù)列．
（1）若，，成等比數(shù)列，求其公比．
（2）若，從數(shù)列中取出第2項、第6項作為一個等比數(shù)列的第1項、第2項，試問該數(shù)列是否為的無窮等比子數(shù)列，請說明理由．
（3）若，從數(shù)列中取出第1項、第項（設(shè)）作為一個等比數(shù)列的第1項、第2項．求證：當為大于1的正整數(shù)時，該數(shù)列為的無窮等比子數(shù)列．

Answer 1

略

（1）解：由題設(shè)，得，即，得，又，于是，故其公比．（4分）
（2）解：設(shè)等比數(shù)列為，其公比，，（6分）
由題設(shè)．
假設(shè)數(shù)列為的無窮等比子數(shù)列，則對任意自然數(shù)，都存在，使，
即，得，（8分）
當時，，與假設(shè)矛盾，
故該數(shù)列不為的無窮等比子數(shù)列．（10分）
（3）即證明無窮等比數(shù)列中的每一項均為數(shù)列中的項．
在等比數(shù)列中，，（12分）
在等差數(shù)列中，，，（14分）
若為數(shù)列中的第項，則由，得，
整理得，（16分）
由，均為正整數(shù)，得也為正整數(shù)，
故無窮等比數(shù)列中的每一項均為數(shù)列中的項，得證．（18分）