Question

如果數(shù)列{a_n}同時滿足：（1）各項均不為0，（2）存在常數(shù)k，對任意n∈N^*，a_n+1²a_na_n+2+k都成立，則稱這樣的數(shù)列{a_n}為“類等比數(shù)列”．由此等比數(shù)列必定是“類等比數(shù)列”．問：
（1）各項均不為0的等差數(shù)列{b_n}是否為“類等比數(shù)列”？說明理由．
（2）若數(shù)列{a_n}為“類等比數(shù)列”，且a₁=a，a₂=b（a，b為常數(shù)），是否存在常數(shù)λ，使得a_n+a_n+2=λa_n+1對任意n∈N^*都成立？若存在，求出λ；若不存在，請舉出反例．
（3）若數(shù)列{a_n}為“類等比數(shù)列”，且a₁=a，a₂=b，k=a²+b²（a，b為常數(shù)），求數(shù)列{a_n}的前n項之和S_n；數(shù)列{S_n}的前n項之和記為T_n，求T_4k-3（k∈N^*）．

Answer 1

考點：數(shù)列的應(yīng)用

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）因為{b_n}為各項均不為0的等差數(shù)列，故可設(shè)b_n=dn+b（d、b為常數(shù)），利用“類等比數(shù)列”的定義，可得k=d²為常數(shù)，即可得出結(jié)論；
（2）存在常數(shù)λ=

a2+b2-k

ab

，使a_n+a_n+2=λa_n+1，再進行證明即可；
（3）{a_2n-1}，{a_2n}均為公比為-1的等比數(shù)列，可求S_n、T_n，即可求T_4k-3（k∈N^*）．

解答： 解：（1）因為{b_n}為各項均不為0的等差數(shù)列，故可設(shè)b_n=dn+b（d、b為常數(shù)）               …（1分）
由bn+12=bnbn+2+k得[d（n+1）+b]²=（dn+b）[d（n+2）+b]+k…（2分）
得k=d²為常數(shù)，所以各項均不為0的等差數(shù)列{b_n}為“類等比數(shù)列”…（4分）
（2）存在常數(shù)λ=

a2+b2-k

ab

，使a_n+a_n+2=λa_n+1（只給出結(jié)論給2分）
（或從必要條件入手a1+a3=λa2⇒λ=

a1+a3

a2

=

a1+ a22-k a1

a2

=

a2+b2-k

ab

）
證明如下：因為

a

2 n+1

=anan+2+k，所以

a

2 n

=an-1an+1+k，n≥2，n∈N*
所以

a

2 n+1

-

a

2 n

=anan+2-an-1an+1，即

a

2 n+1

+an-1an+1=anan+2+

a

2 n

．…（6分）
由于a_n≠0，此等式兩邊同除以a_na_n+1，
得

an+an+2

an+1

=

an-1+an+1

an

…（8分）
所以

an+an+2

an+1

=

an-1+an+1

an

=…=

a1+a3

a2

，
即當n∈N^*都有an+an+2=

a1+a3

a2

an+1
因為a1=a，a2=b，

a

2 n+1

=anan+2+k，所以a3=

b2-k

a

所以

a1+a3

a2

=

a+ b2-k a

b

=

a2+b2-k

ab

•
所以對任意n∈N^*都有a_n+a_n+2=λa_n+1，此時λ=

a2+b2-k

ab

…（10分）
（3）a22=a1a3+k=a1a3+a12+a22⇒a1(a1+a3)=0⇒a1+a3=0…（11分）

an+an+2

an+1

=

an-1+an+1

an

=…=

a1+a3

a2

=0⇒an+an+2=0，
∴{a_2n-1}，{a_2n}均為公比為-1的等比數(shù)列                  …（12分）
∴an=

a(-1) n-1 2 ，n為奇數(shù) b(-1) n 2 -1，n為偶數(shù)

…（14分）
Sn=

0，n=4k  a，n=4k-3 a+b， n=4k-2 b，n=4k-1

(k∈N*)…（16分）
T_4k-3=T_4k-S_4k-S_4k-1-S_4k-2=2（a+b）k-0-b-（a+b）=2（a+b）（k-1）+a（18分）

點評：本題考查數(shù)列的應(yīng)用，考查新定義，考查數(shù)列的通項與求和，考查學生分析解決問題的能力，正確運用新定義是關(guān)鍵．