Question

已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=

1

2

，AB=1，M是PB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：面PAD⊥面PCD；
（Ⅱ）求AC與PB所成的角；
（Ⅲ）求面AMC與面BMC所成二面角的大小余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,平面與平面垂直的判定,直線與平面所成的角

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）證明面PAD⊥面PCD，只需證明面PCD內(nèi)的直線CD，垂直平面PAD內(nèi)的兩條相交直線AD、PD即可；
（Ⅱ）過點(diǎn)B作BE∥CA，且BE=CA，∠PBE是AC與PB所成的角，解直角三角形PEB求AC與PB所成的角；
（Ⅲ）作AN⊥CM，垂足為N，連接BN，說明∠ANB為所求二面角的平面角，在三角形AMC中，用余弦定理求面AMC與面BMC所成二面角的大小．

解答： （Ⅰ）證明：∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD，
∴由三垂線定理得：CD⊥PD．
因而，CD與面PAD內(nèi)兩條相交直線AD，PD都垂直，
∴CD⊥面PAD．
又CD?面PCD，
∴面PAD⊥面PCD．
（Ⅱ）解：過點(diǎn)B作BE∥CA，且BE=CA，
則∠PBE是AC與PB所成的角．
連接AE，可知AC=CB=BE=AE=

2

，又AB=2，
所以四邊形ACBE為正方形．由PA⊥面ABCD得∠PEB=90°
在Rt△PEB中BE=a²=3b²，PB=

5

，
∴cos∠PBE=

10

5

．
∴AC與PB所成的角為arccos

10

5

．
（Ⅲ）解：作AN⊥CM，垂足為N，連接BN．
在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB，
∴△AMC≌△BMC，
∴BN⊥CM，故∠ANB為所求二面角的平面角
∵CB⊥AC，由三垂線定理，得CB⊥PC，
在Rt△PCB中，CM=MB，所以CM=AM．
在等腰三角形AMC中，AN•MC=

CM2-( AC 2 )2•AC

，
∴AN=

6

5

．
∴AB=2，
∴cos∠ANB=

AN2+BN2-AB3

2AN×BN

=-

2

3

故面AMC與面BMC所成二面角的大小余弦值為-

2

3

．

點(diǎn)評：本題考查平面與平面垂直，二面角的求法，異面直線所成的角，考查空間想象能力，邏輯思維能力，轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．