已知中心在原點，長軸在x軸上的橢圓的一個頂點是（0，-
5
），離心率為
6
6
，左、右焦點分別為F1和F2．
（1）求橢圓方程；
（2）試探究橢圓上是否存在一點P，使
PF1
•
PF2
=0，若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
考點：橢圓的簡單性質(zhì)
專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（1）由題意，設橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1，求出a，b即可；
（2）利用三角形的面積推出矛盾，解析幾何推方程無解，或者直接利用向量求解．
解答： 解：（Ⅰ）設橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1．
由已知，b=
5
，e=
c
a
=
6
6
．
e2=
c2
a2
=
a2-b2
a2
=1-
b2
a2
，∴1-
5
a2
=
1
6
．
解得a2=6；
∴所求橢圓方程為
x2
6
+
y2
5
=1．
（Ⅱ）解法一：假設存在一點P，使
PF1
•
PF2
=0，
∴
PF1
⊥
PF2
．
∴△PF1F2為直角三角形，
∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4①
又∵|PF1|+|PF2|=2a=2
6
②
∴②2-①，得 
 2|PF1|•|PF2|=20，
∴
1
2
|PF1|•|PF2|=5，
即S△PF1F2=5，但S△PF1F2最大值為
5
，故矛盾，
∴不存在一點P，使
PF1
•
PF2
=0．
解法二：假設橢圓上存在一點P，使
PF1
•
PF2
=0，
則
PF1
⊥
PF2
，F(xiàn)1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），
所以，點P在以F1F2為直徑的圓x2+y2=1上，
由
x2
6
+
y2
5
=1
x2+y2=1
得x2=-24，這是不可能的，
所以橢圓上不存在點P，使
PF1
•
PF2
=0，
解法三：假設橢圓上存在一點P（x，y），使
PF1
•
PF2
=0，
則
PF1
=(-1-x，-y)，
PF2
=(1-x，-y)，
由
PF1
•
PF2
=0得x2+y2=1，
由
x2
6
+
y2
5
=1
x2+y2=1
得x2=-24，這是不可能的，
所以橢圓上不存在點P，使
PF1
•
PF2
=0．
點評：本題考查了橢圓的定義及橢圓中線的關系，同時考查了向量的應用，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在空間直角坐標系中，O為坐標原點，若向量
OA
=（a，3，4a-1），
OB
=（2-3a，2a+1，3），a∈R，且M是線段AB的中點，則|
OM
|的最小值是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線與直線x-2y+1=0垂直，則雙曲線C的離心率為（　�。�
A、
5
2
B、
3
C、2
D、
5

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，等差數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，若
Sn
Tn
=
n+1
n-1
，則
a2
b4+b6
+
a8
b3+b7
=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義在R上的奇函數(shù)f（x），當x＞0時，f（x）=-x2+2x．函數(shù)y=g（x）的定義域為[a，b]，值域為[
1
b
，
1
a
]，其中a、b≠0．在x∈[a，b]時f（x）=g（x）．
（1）求f（x）解析式；
（2）求a、b的值；
（3）是否存在實數(shù)m，使{（x，y）|y=g（x），x∈[a，b]}∩{（x，y）|y=
1
4
x2+m}≠∅？若存在，求出m的值；若不存在請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，A是半徑為5的圓O上的一個定點，單位向量
AB
在A點處與圓O相切，點P是圓O上的一個動點，且點P與點A不重合，則
AP
•
AB
的取值范圍是（　�。�
A、（-5，5）
B、[-5，5]
C、(-
5
2
，
5
2
)
D、[0，5]

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=x2-2x-2，x∈[-1，4），則此函數(shù)的值域為（　�。�
A、[1，6]
B、[1，6 ）
C、[-3，6）
D、[-3，6]

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若兩個等差數(shù)列{an}、{bn}的前n項和分別為Sn、Tn，對任意的n∈N*都有
Sn
Tn
=
2n-1
4n-3
，則
a4
b3+b7
+
a8
b3+b9
=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=（2，-1，2）．
（1）若向量
b
與向量
a
共線，且滿足
a
•
b
=-18，求向量
b
；
（2）若向量
b
=（-4，-5，-1），且滿足（
a
-k
b
）⊥
b
，求實數(shù)k的值．

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