Question

如圖，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側面A₁ACC₁是邊長為2的菱形，∠A₁AC=60°．在面ABC中，AB=2

3

，BC=4，M為BC的中點，過A₁，B₁，M三點的平面交AC于點N．
（1）求證：N為AC中點；
（2）平面A₁B₁MN⊥平面A₁ACC₁．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定

專題：證明題,空間位置關系與距離

分析：（1）由平面ABC∥平面A₁B₁C₁可推出MN∥A₁B₁；進而得MN∥AB，N為AC中點．（2）證明A₁N⊥AC，AB⊥AC；進而證明AC⊥平面A₁B₁MN，從而得到平面A₁B₁MN⊥平面A₁ACC₁．

解答： 證明：（1）由題意，平面ABC∥平面A₁B₁C₁，
又∵平面A₁B₁M與平面ABC交于直線MN，與平面A₁B₁C₁交于直線A₁B₁，
∴MN∥A₁B₁．
∵AB∥A₁B₁，∴MN∥AB，∴

CN

AN

=

CM

BM

．
∵M為AB的中點，∴

CN

AN

=1，
∴N為AC中點．
（2）∵四邊形A₁ACC₁是邊長為2的菱形，∠A₁AC=60°．
在三角形A₁AN中，AN=1，AA₁=2，
由余弦定理得A₁N=

3

，
故A₁A²=AN²+A₁N²，
∴∠A₁NA=90°，即A₁N⊥AC．
在三角形ABC中，AB=2，AC=2

3

，BC=4，
則BC²=AB²+AC²，
∴∠BAC=90°，即AB⊥AC．
又∵MN∥AB，則AC⊥MN．
∵MN∩A₁N=N，MN?面A₁B₁MN，A₁N?面A₁B₁MN，
∴AC⊥平面A₁B₁MN．
又∵AC?平面A₁ACC₁，
∴平面A₁B₁MN⊥平面A₁ACC₁．

點評：本題考查面面平行的性質(zhì)定理，線面垂直及面面垂直的判定定理，綜合考查空間想象及邏輯推理能力．立體幾何中線面平行、面面平行、面面垂直的性質(zhì)定理要適當關注，不成為重點，但也不要成為盲點．關注以算代證的方法．