Question

已知函數(shù)f（x）=ax-ln（x+1）．
（Ⅰ）當a=2時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若對任意的x∈[0，+∞），不等式f（x）≥0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)x₁，x₂，…，x_n是互不相等的正整數(shù)，n∈N^*，證明：

x1

12

+

x2

22

+…+

xn

n2

＞1n（n+1）．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）當a=2時，求導數(shù)，利用導數(shù)的正負，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若對任意的x∈[0，+∞），不等式f（x）≥0恒成立，即當x∈[0，+∞）時，f（x）_min≥0，分類討論，求最小值，即可求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）證明1+

1

2

+…+

1

n

＞ln(

2

1

)+ln(

3

2

)+…+ln(

n+1

n

)=ln(n+1)．又由柯西不等式，有(

x1

12

+

x2

22

+…+

xn

n2

)(

1

x1

+

1

x2

+…+

1

xn

)≥(1+

1

2

+…+

1

n

)2．即(

x1

12

+

x2

22

+…+

xn

n2

)≥

(1+ 1 2 +…+ 1 n )2

( 1 x1 + 1 x2 +…+ 1 xn )

，從而可以證明結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）當a=2時，f（x）=2x-ln（x+1）．
f?(x)=2-

1

x+1

=

2x+1

x+1

(x＞-1)．
令f'（x）＞0，得x＞-

1

2

，因此函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(-

1

2

，+∞)．
令f'（x）＜0，得-1＜x＜-

1

2

，因此函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為(-1，-

1

2

)．…（4分）
（Ⅱ）依題意，當x∈[0，+∞）時，f（x）_min≥0.f′(x)=a-

1

x+1

=

ax+a-1

x+1

(x≥0)．
（1）當a≤0時，f′(x)=

ax+a-1

x+1

＜0．∴f（x）在[0，+∞）上是減函數(shù)，此時無最小值；即a≤0不可能有f（x）≥0恒成立．
（2）當a＞0時，f′(x)=

a(x- 1-a a )

x+1

．
①當

1-a

a

≤0，即a≥1時f′(x)=

a(x- 1-a a )

x+1

＞0，f（x）在上是增函數(shù)，
所以，f（x）_min=f（0）=0，即a≥1時，f（x）_min≥0，不等式f（x）≥0恒成立．
②當

1-a

a

＞0，即a＜1時，
令f'（x）＞0，函數(shù)f（x）在(

1-a

a

，+∞)上遞增；令f'（x）＜0，函數(shù)f（x）在(0，

1-a

a

)上遞減．
∴f(x)min=f(

1-a

a

)=1-a-ln

1

a

=1-a+lna，
但此時1-a+lna＜0，不可能有f（x）_min≥0，即不可能有f（x）≥0恒成立．
綜合上述，a的取值范圍是a≥1．…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ），取a=1，有f（x）=x-ln（x+1）≥0，得x≥ln（x+1）．
取x=

1

n

，有

1

n

≥ln(

n+1

n

)，∴1+

1

2

+…+

1

n

＞ln(

2

1

)+ln(

3

2

)+…+ln(

n+1

n

)=ln(n+1)．
又由柯西不等式，有(

x1

12

+

x2

22

+…+

xn

n2

)(

1

x1

+

1

x2

+…+

1

xn

)≥(1+

1

2

+…+

1

n

)2．
即(

x1

12

+

x2

22

+…+

xn

n2

)≥

(1+ 1 2 +…+ 1 n )2

( 1 x1 + 1 x2 +…+ 1 xn )

．
∵x₁，x₂，…，x_n是互不相等的正整數(shù)，
∴

1

x1

+

1

x2

+…+

1

xn

≤1+

1

2

+…+

1

n

．
∴

1

1 x1 + 1 x2 +…+ 1 xn

≥

1

1+ 1 2 +…+ 1 n

．
∴(

x1

12

+

x2

22

+…+

xn

n2

)≥

(1+ 1 2 +…+ 1 n )2

( 1 x1 + 1 x2 +…+ 1 xn )

≥1+

1

2

+…+

1

n

，
又由上已證1+

1

2

+…+

1

n

＞ln(n+1)，∴

x1

12

+

x2

22

+…+

xn

n2

＞ln(n+1)．…（14分）

點評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷以及利用導數(shù)證明不等式，綜合考查了導數(shù)的應(yīng)用，運算量較大，綜合性較強．