Question

7．已知x＞$\frac{1}{2}$，則函數y=$\frac{{x}^{2}+x+1}{2x-1}$的最小值為$\frac{\sqrt{7}}{2}+1$．

Answer 1

分析 把已知函數解析式變形，然后利用基本不等式求最值．

解答 解：∵x＞$\frac{1}{2}$，∴2x-1＞0，
∴y=$\frac{{x}^{2}+x+1}{2x-1}$=$\frac{\frac{1}{4}（2x-1）^{2}+（2x-1）+\frac{7}{4}}{2x-1}$=$\frac{1}{4}（2x-1）+\frac{7}{4（2x-1）}+1$．
≥$2\sqrt{\frac{1}{4}（2x-1）•\frac{7}{4（2x-1）}}+1$=$\frac{\sqrt{7}}{2}+1$．
當且僅當$\frac{1}{4}（2x-1）=\frac{7}{4（2x-1）}$，即x=$\frac{1+\sqrt{7}}{2}$時取得最小值．
故答案為：$\frac{\sqrt{7}}{2}+1$．

點評 本題考查函數的最值及其幾何意義，考查利用基本不等式求函數的最值，是中檔題．