Question

橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，該橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)P且離心率為.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線l：y＝kx＋m與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)(A，B不是左，右頂點(diǎn))，且以AB為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)，求證：直線l過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

 (1)解　設(shè)橢圓方程為＋＝1(a＞b＞0)，

由e＝＝，得a＝2c，

∵a²＝b²＋c²，∴b²＝3c²，

則橢圓方程變?yōu)?sub>＋＝1.

又橢圓過(guò)點(diǎn)P，將其代入求得c²＝1，

故a²＝4，b²＝3，

即得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.

(2)證明　設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

聯(lián)立

得(3＋4k²)x²＋8mkx＋4(m²－3)＝0，

①

又y₁y₂＝(kx₁＋m)(kx₂＋m)

＝k²x₁x₂＋mk(x₁＋x₂)＋m²＝.

∵橢圓的右頂點(diǎn)為A₂(2,0)，AA₂⊥BA₂，

∴(x₁－2)(x₂－2)＋y₁y₂＝0，

∴y₁y₂＋x₁x₂－2(x₁＋x₂)＋4＝0，

∴＋＋＋4＝0，

∴7m²＋16mk＋4k²＝0，

解得m₁＝－2k，m₂＝－，

由①，得3＋4k²－m²＞0，

當(dāng)m₁＝－2k時(shí)，l的方程為y＝k(x－2)，

直線過(guò)定點(diǎn)(2,0)，與已知矛盾．

當(dāng)m₂＝－時(shí)，l的方程為y＝k，

直線過(guò)定點(diǎn)，

∴直線l過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為.