Question

在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C₁：＋＝1(a>b>0)的左焦點為F₁(－1,0)，且點P(0,1)在C₁上．

(1)求橢圓C₁的方程；

(2)設直線l同時與橢圓C₁和拋物線C₂：y²＝4x相切，求直線l的方程．

Answer 1

解　(1)因為橢圓C₁的左焦點為F₁(－1,0)，所以c＝1.

把點P(0,1)代入橢圓＋＝1，得＝1，即b＝1，

所以a²＝b²＋c²＝2.

所以橢圓C₁的方程為＋y²＝1.

(2)由題意可知，直線l的斜率顯然存在，且不等于0，設直線l的方程為y＝kx＋m.

聯(lián)立消去y并整理得

(1＋2k²)x²＋4kmx＋2m²－2＝0.

因為直線l與橢圓C₁相切，

所以Δ₁＝16k²m²－4(1＋2k²)(2m²－2)＝0，

整理得2k²－m²＋1＝0.①

聯(lián)立

消去y并整理得k²x²＋(2km－4)x＋m²＝0.

因為直線l與拋物線C₂相切，

所以Δ₂＝(2km－4)²－4k²m²＝0.

整理得km＝1.②

綜合①②，解得或

所以直線l的方程為y＝x＋或y＝－x－.