【題目】如圖①，在邊長為4的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC上的點（端點除外），將△AED，△DCF分別沿DE，DF折起，使A，C兩點重合于點A′（如圖②）．

（1）求證：A′D⊥EF；

（2）當(dāng)點E，F分別為AB，BC的中點時，求直線A′E與直線BD所成角的余弦值．

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）利用折疊前后有些垂直關(guān)系不變及直線與平面垂直的判定和性質(zhì)可證（2）取A’F的中點N，EF的中點M,異面直線A′E與直線BD所成角轉(zhuǎn)化為相交直線NM與ND所成銳角或直角，利用余弦定理求其余弦值即可.

（1）證明：顯然，又,

因為,

所以

（2）設(shè),取A’F的中點N,

因為E、F為AB,BC的中點，所以M為EF的中點，

連MN則MN//A’E，連ND,

則或其補角就是異面直線A’E與BD所成角，

在中，

，

直線A’E與直線BD所成角的余弦值為.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)。

（1）若曲線在點處的切線與直線垂直，求的單調(diào)遞減區(qū)間和極小值（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）；

（2）若對任意恒成立，求的取值范圍。

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【題目】已知動直線l：（m＋3）x－（m＋2）y＋m＝0與圓C：（x－3）2＋（y－4）2＝9．

（1）求證：無論m為何值，直線l總過定點A，并說明直線l與圓C總相交．

（2）m為何值時，直線l被圓C所截得的弦長最小？請求出該最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】寫出下面兩個的相關(guān)命題的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷它們的真假：

（1）命題：若，則.

逆命題：_______________________________________________________（________）

逆否命題：_____________________________________________________（________）

（2）命題：設(shè)是實數(shù)，如果，那么有實數(shù)根。

否命題：_______________________________________________________（________）

逆否命題：_____________________________________________________（________）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在直三棱柱中，，分別是棱，的中點，點在棱上，且，，.

（1）求證：平面；

（2）當(dāng)時，求三棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，四邊形是正方形， 平面， ， ， ， ， 分別為， ， 的中點.

（1）求證： 平面；

（2）求平面與平面所成銳二面角的大小；

（3）在線段上是否存在一點，使直線與直線所成的角為？若存在，求出線段的長；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知在平面直角坐標(biāo)系中的一個橢圓，它的中心在原點，左焦點為,右頂點為,

（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）（文）若是橢圓上的動點，過P作垂直于x軸的垂線，垂足為M，延長MP至N，使得P恰好為MN中點，求點N的軌跡方程；

（理）若已知點，是橢圓上的動點，求線段中點的軌跡方程；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，某學(xué)校擬建一塊五邊形區(qū)域的“讀書角”，三角形區(qū)域ABE為書籍?dāng)[放區(qū)，沿著AB、AE處擺放折線形書架（書架寬度不計），四邊形區(qū)域為BCDE為閱讀區(qū)，若∠BAE＝60°，∠BCD＝∠CDE＝120°，DE＝3BC＝3CD＝m．

（1）求兩區(qū)域邊界BE的長度；

（2）若區(qū)域ABE為銳角三角形，求書架總長度AB+AE的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，若關(guān)于的方程的不同實數(shù)根的個數(shù)為，則的所有可能值為（ ）

A. 3 B. 1或3 C. 3或5 D. 1或3或5

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