Question

在數(shù)列{a_n}中，已知a₁=2，且對(duì)任意的正整數(shù)n，m，都有a_n+m=a_n+a_m．
（Ⅰ）求出a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法,數(shù)列遞推式

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（Ⅰ）利用已知條件通過m，n=1，2，直接計(jì)算a₂，a₃，a₄的值，
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的計(jì)算結(jié)果，猜想的通{a_n}項(xiàng)公式，用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟直接證明即可．

解答： 解：（Ⅰ）由數(shù)列{a_n}中，已知a₁=2，且對(duì)任意的正整數(shù)n，m，都有a_n+m=a_n+a_m，
可得，m=n=1時(shí)，a₂=2a₁=4；m=1，n=2時(shí)，a₃=a₂+a₁=6；
m=1，n=3時(shí)，a₄=a₃+a₁=8．…（3分）
（Ⅱ）猜想 a_n=2n．…（4分）
證明：①當(dāng)n=1時(shí)，由已知，左邊=2，右邊=2×1=2，猜想成立．
…（6分）
②假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N^*）時(shí)猜想成立，即a_k=2k．…（7分）
則n=k+1時(shí)，a_k+1=a_k+a₁=2k+2=2（k+1）．
所以 當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想也成立．
根據(jù) ①和 ②，可知猜想對(duì)于任何n∈N^*都成立．…（9分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推關(guān)系式以及通項(xiàng)公式的應(yīng)用，數(shù)學(xué)歸納法的證明方法的應(yīng)用，考查計(jì)算能力與邏輯推理能力．