考點:利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程
專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(Ⅰ)由已知得
f′(x)=a+,
f′(e)=a+=-
,f(1)=a+c=0,f′(1)=a+b=0,由此能求出常數(shù)a,b,c的值.
(Ⅱ)由f(x)=-x+lnx+1(x>0),得g(x)=x
2-mx+mlnx+m,從
g′(x)=2x-m+=(2x2-mx+m),由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出實數(shù)m的取值范圍.
(Ⅲ)由h(x)=-x+lnx,得
h′(x)=,由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能證明
×
×
×…×
<
.
解答:
(Ⅰ)解:由f(x)=ax+blnx+c,
知f(x)的定義域為(0,+∞),
f′(x)=a+,
又f(x)在x=e處的切線方程為(e-1)x+ey-e=0,
所以有
f′(e)=a+=-
,①
由x=1是函數(shù)f(x)的零點,得f(1)=a+c=0,②
由x=1是函數(shù)f(x)的極值點,得f′(1)=a+b=0,③
由①②③,得a=-1,b=1,c=1.…(4分)
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知f(x)=-x+lnx+1(x>0),
則g(x)=x
2-mx+mlnx+m,
且
g′(x)=2x-m+=(2x2-mx+m)…(5分)
要使函數(shù)g(x)在區(qū)間(1,3)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù),
則函數(shù)g(x)在區(qū)間(1,3)內(nèi)一定有極值,
由
g′(x)=(2x2-mx+m)知g(x)最多有兩個極值,
令d(x)=2x
2-mx+m(x>0),
(i)當(dāng)函數(shù)g(x)在區(qū)間(1,3)內(nèi)有一個極值時,
d(x)=0在(1,3)由唯一實數(shù)根,
∵d(1)=2>0,當(dāng)d(3)=0,即m=9時,
d(x)=0在(1,3)由唯一實數(shù)根
x=,
當(dāng)d(3)≠0,即d(3)<0,解得m>9,∴此時m≥9.…(7分)
(ii)當(dāng)函數(shù)g(x)在區(qū)間(1,3)內(nèi)有兩個極值時,
d(x)=0在(1,3)由兩個實數(shù)根,
其充要條件是
| △=m2-8m>0 | d(1)=2-m+m>0 | d(3)=2×32-3m+m>0 | 1<<3 |
| |
⇒8<m<9,
綜上所述,m得取值范圍是(8,+∞).…(10分)
(Ⅲ)證明:由h(x)=-x+lnx(x>0)得
h′(x)=,
令h'(x)≤0,得x≥1,即h(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞減.
由此得h(x)<h(1),∴-x+lnx<-1,
∴l(xiāng)nx<x-1對x∈(1,+∞)都成立,
則
0<<對x∈(1,+∞)都成立,…(12分)
令x=2,3,4,…,2014,得
0<<,
0<<,…,
0<<,
各式相乘得
×××…×<.…(14分)
點評:本題考查實數(shù)值的求法,考查實數(shù)的取值范圍的求法,考查不等式的證明,是中檔題,解題時要認(rèn)真審題,注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用.