（滿分15分）動(dòng)圓過定點(diǎn)且與直線相切，圓心的軌跡為曲線，過作曲線兩條互相垂直的弦，設(shè)的中點(diǎn)分別為、.

（1）求曲線的方程；

（2）求證：直線必過定點(diǎn).

 

【答案】

（1）（2）聯(lián)立方程組，求出再求出直線，從而得證.

【解析】

試題分析：（1）設(shè)，根據(jù)題意有，

化簡得.                                                        ……6分

（2）設(shè)，代入得

，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013032410282973439810/SYS201303241029466250335325_DA.files/image008.png">是線段的中點(diǎn)，所以，,

故.                                                     ……10分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013032410282973439810/SYS201303241029466250335325_DA.files/image013.png">，所以將點(diǎn)坐標(biāo)中的換成，即得，

則 ，整理得,

故不論為何值，直線必過定點(diǎn).                             ……15分

考點(diǎn)：本小題主要考查拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的求解、直線與拋物線的位置關(guān)系、韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、直線方程的求解和直線過定點(diǎn)問題，考查了學(xué)生分析問題、解決問題的能力和運(yùn)算求解能力.

點(diǎn)評(píng)：第（1）問也可以利用拋物線的定義求解，第（2）問含參數(shù)的直線方程過定點(diǎn)問題要靈活應(yīng)用，有時(shí)不讓求定點(diǎn)，但是對(duì)含參數(shù)的直線方程先求出定點(diǎn)，可以簡化解題過程.

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（本題滿分15分）已知過點(diǎn)（，0）（）的動(dòng)直線交拋物線于、兩點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱．（I）當(dāng)時(shí)，求證：；

（II）對(duì)于給定的正數(shù)，是否存在直線：，使得被以為直徑的圓所截得的弦長為定值？如果存在，求出的方程；如果不存在，試說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（本小題滿分15分）如圖，設(shè)P是拋物線：上的動(dòng)點(diǎn)。過點(diǎn)做圓的兩條切線，交直線：于兩點(diǎn)。

   （Ⅰ）求的圓心到拋物線 準(zhǔn)線的距離。

（Ⅱ）是否存在點(diǎn)，使線段被拋物線在點(diǎn)處得切線平分，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年浙江省高三下學(xué)期3月聯(lián)考理科數(shù)學(xué) 題型：解答題

(本小題滿分15分)．

已知、分別為橢圓：的

上、下焦點(diǎn)，其中也是拋物線：的焦點(diǎn)，

點(diǎn)是與在第二象限的交點(diǎn)，且。

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）已知點(diǎn)P（1，3）和圓：，過點(diǎn)P的動(dòng)直線與圓相交于不同的兩點(diǎn)A，B，在線段AB取一點(diǎn)Q，滿足：，（且）。求證：點(diǎn)Q總在某定直線上。

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年湖北省高二期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷 題型：解答題

（本小題滿分15分）已知點(diǎn)，一動(dòng)圓過點(diǎn)且與圓內(nèi)切．

（Ⅰ）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)為曲線上任一點(diǎn)，求點(diǎn)到點(diǎn)距離的最大值；

（Ⅲ）在的條件下，設(shè)△的面積為（是坐標(biāo)原點(diǎn)，是曲線上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)），以為邊長的正方形的面積為．若正數(shù)滿足，問是否存在最小值，若存在，請(qǐng)求出此最小值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

 

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