Question

（本題滿(mǎn)分15分）已知過(guò)點(diǎn)（，0）（）的動(dòng)直線交拋物線于、兩點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)．（I）當(dāng)時(shí)，求證：；

（II）對(duì)于給定的正數(shù)，是否存在直線：，使得被以為直徑的圓所截得的弦長(zhǎng)為定值？如果存在，求出的方程；如果不存在，試說(shuō)明理由．

Answer 1

(Ⅰ) 見(jiàn)解析  (Ⅱ) 所以當(dāng)時(shí)，存在直線，截得的弦長(zhǎng)為，

   當(dāng)時(shí)，不存在滿(mǎn)足條件的直線

解析:

方法一：（I）設(shè)，

得

     …………………………………………………………3 分

==0

∴               ………………………………………………6 分

方法二：過(guò)A、B分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為、，

有

由

∴

∴ ……………………………………………………6 分

（II）設(shè)點(diǎn)是軌跡C上的任意一點(diǎn)，則以為直徑的圓的圓心為，

假設(shè)滿(mǎn)足條件的直線存在，直線被圓截得的弦為，則

 

                   ………………10分

弦長(zhǎng)為定值，則，即，

此時(shí)，                          ………………12分

所以當(dāng)時(shí)，存在直線，截得的弦長(zhǎng)為，

   當(dāng)時(shí)，不存在滿(mǎn)足條件的直線…………………………………………15 分