Question

2013年我國(guó)汽車擁有量已超過(guò)2億（目前只有中國(guó)和美國(guó)超過(guò)2億），為了控制汽車尾氣對(duì)環(huán)境的污染，國(guó)家鼓勵(lì)和補(bǔ)貼購(gòu)買小排量汽車的消費(fèi)者，同時(shí)在部分地區(qū)采取對(duì)新車限量上號(hào)．某市采取對(duì)新車限量上號(hào)政策，已知2013年年初汽車擁有量為x₁（x₁=100萬(wàn)輛），第n年（2013年為第1年，2014年為第2年，依此類推）年初的擁有量記為x_n，該年的增長(zhǎng)量y_n和x_n與1-

xn

m

的乘積成正比，比例系數(shù)為λ（0＜λ＜1），其中m=200萬(wàn)．
（1）證明：y_n≤50λ；
（2）用x_n表示x_n+1；并說(shuō)明該市汽車總擁有量是否能控制在200萬(wàn)輛內(nèi)．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：綜合題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）利用分析法進(jìn)行證明即可；
（2）由題意，x_n+1=x_n+y_n，則x_n+1=x_n+λx_n（1-

xn

200

）．按該政策可以將該市汽車總擁有量控制在200萬(wàn)輛內(nèi)，即x_n≤200，利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．

解答： （1）證明：依題y_n=λx_n（1-

xn

m

）                          …（2分）
∴只需證明x_n（1-

xn

m

）≤50 
∵m=200，即證（x_n-100）²≥0．
上式顯然成立，∴y_n≤50λ．                      …（5分）
（2）解：由題意，x_n+1=x_n+y_n，∴x_n+1=x_n+λx_n（1-

xn

200

）
按該政策可以將該市汽車總擁有量控制在200萬(wàn)輛內(nèi)，即x_n≤200．…（6分）
證明如下：當(dāng)n=1時(shí)，x₁=100，顯然成立．
假設(shè)n=k時(shí)，x_k≤200成立．
則當(dāng)n=k+1時(shí)，x_k+1=x_k+λx_k（1-

xk

200

）是關(guān)于x_k的一個(gè)二次函數(shù)，
令f（x）=-

λ

200

x²+（1+λ）x，（x≤20）
其對(duì)稱軸x=

100(1+λ)

λ

＞200，∴f（x）在（0，200）上遞減，
∴f（x）＜f（200），即x_k+1≤200
綜上所述，x_n≤200成立．                          …（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意計(jì)算能力的培養(yǎng)．