【題目】如圖,圓與直線
相切于點
,與
正半軸交于點
,與直線
在第一象限的交點為
. 點
為圓
上任一點,且滿足
,以
為坐標的動點
的軌跡記為曲線
.
(1)求圓的方程及曲線
的方程;
(2)若兩條直線和
分別交曲線
于點
和
,求四邊形
面積的最大值,并求此時的
的值.
(3)已知曲線的軌跡為橢圓,研究曲線
的對稱性,并求橢圓
的焦點坐標.
【答案】(1),
(2)
時,四邊形
的面積最大值為
.(3)
【解析】
(1)由圓半徑為圓心到切線距離得圓半徑,從而得圓方程,由表示出
點坐標代入圓
方程可得曲線
的方程.
(2)把方程代入曲線
的方程求得
的坐標,得
,同理可得
,由
得
,應(yīng)用整體換元法結(jié)合基本不等式可求得最值(也可變形為
,求最值);
(3)由曲線的方程可得對稱性:關(guān)于直線
對稱,關(guān)于原點對稱,求出它與對稱軸的交點即頂點坐標,得出
,求出
,從而可得焦點坐標.
解:(1)由題意圓的半徑
,
故圓的方程為
.
由得,
,將
代入
得為曲線
的方程.
(2)由
得,
,
所以,同理
.
由題意知 ,所以四邊形
的面積
.
∵ ,∴
.
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,此時
.
∴ 當(dāng)時,四邊形
的面積最大值為
.
(3) 曲線的方程為
,它關(guān)于直線
、
和原點對稱,
下面證明:
設(shè)曲線上任一點的坐標為
,則
,點
關(guān)于直線
的對稱點為
,顯然
,所以點
在曲線
上,故曲線
關(guān)于直線
對稱,
同理曲線關(guān)于直線
和原點對稱.
證明:求得和直線
的交點坐標為
,
和直線
的交點坐標為
,
,
,
,
.
在上取點
.
設(shè)為曲線
上任一點,則
(因為
)
.
即曲線上任一點
到兩定點
的距離之和為定值
.
若點到兩定點
的距離之和為定值
,可以求得點
的軌跡方程為
(過程略).
故曲線是橢圓,其焦點坐標為
.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)數(shù)列的通項公式為
(
,
),數(shù)列
定義如下:對于正整數(shù)
,
是使得不等式
成立的所有
中的最小值.
(1)若,
,求
;
(2)若,
,求數(shù)列
的前
項和公式;
(3)是否存在和
,使得
?如果存在,求
和
的取值范圍;如果不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列,
,
;數(shù)列
前
項和為
,滿足
,
.
(1)求,
及數(shù)列
,
的通項公式;
(2)求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】
已知數(shù)列和
滿足:
,
,
,其中
為實數(shù),
為正整數(shù).
(Ⅰ)對任意實數(shù),證明:數(shù)列
不是等比數(shù)列;
(Ⅱ)證明:當(dāng)時,數(shù)列
是等比數(shù)列;
(Ⅲ)設(shè)(
為實常數(shù)),
為數(shù)列
的前
項和.是否存在實數(shù)
,使得對任意正整數(shù)
,都有
?若存在,求
的取值范圍;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖:在直角坐標系中,設(shè)橢圓
的左右兩個焦點分別為
、
.過右焦點
與
軸垂直的直線
與橢圓C相交,其中一個交點為
.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)橢圓C的一個頂點為,求點M到直線
的距離;
(3)過中點的直線
交橢圓于P、Q兩點,求
長的最大值以及相應(yīng)的直線方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為
,
,過點
的直線與橢圓
交于
兩點,延長
交橢圓
于點
,
的周長為8.
(1)求的離心率及方程;
(2)試問:是否存在定點,使得
為定值?若存在,求
;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)集合是集合
的子集,對于
,定義
,給出下列三個結(jié)論:①存在
的兩個不同子集
,使得任意
都滿足
且
;②任取
的兩個不同子集
,對任意
都有
;③任取
的兩個不同子集
,對任意
都有
;其中,所有正確結(jié)論的序號是( )
A.①②B.②③C.①③D.①②③
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