【題目】數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列,
,
;數(shù)列
前
項(xiàng)和為
,滿足
,
.
(1)求,
及數(shù)列
,
的通項(xiàng)公式;
(2)求.
【答案】(1),
,
,
,
,
,(2)
,
【解析】
(1)方法一:(數(shù)列定義)易知,可得
,故
,
;
,
,
,則
,
,兩式相減得
,則
,
,同理兩式相減得
,
,則
為等差數(shù)列,故
,
.
(1)方法二:(數(shù)學(xué)歸納法)
同方法一,猜想,
,然后再利用數(shù)學(xué)歸納法證明.
(2)方法一:利用錯(cuò)位相減法求和,由(1)可知,
,則
,兩式相減整理得,
,
.
(2)方法二:利用裂項(xiàng)求和,由(1)可知,注意到
,再采用裂項(xiàng)相消法求和.
(1)方法一:(數(shù)列定義)
易知,解得
或
,又公比為正數(shù),則
,故
,
;
,
,
,則
,
,兩式相減得
,則
,
,同理兩式相減得
,
(注:
,
也符合),則
為等差數(shù)列,故
,
.
(1)方法二:(數(shù)學(xué)歸納法)
易知,解得
或
,又公比為正數(shù),則
,故
,
;
,
,猜想
,
,用數(shù)學(xué)歸納法證明.
①當(dāng)時(shí),
成立;
②假設(shè)當(dāng)時(shí),
成立,
當(dāng)時(shí),
,則
,即
,故當(dāng)
時(shí),結(jié)論也成立.由①②可知,對(duì)于任意的
,
均成立.
(2)方法一:(錯(cuò)位相減法求和)
由(1)可知,
,
則,兩式相減整理得,
,
.
(2)方法二:(裂項(xiàng)求和)
由(1)可知,注意到
,
故,
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】把方程表示的曲線作為函數(shù)
的圖象,則下列結(jié)論正確的有( )
A.的圖象不經(jīng)過(guò)第一象限
B.在
上單調(diào)遞增
C.的圖象上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最小值為
D.函數(shù)不存在零點(diǎn)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),曲線
在點(diǎn)
處的切線在y軸上的截距為
.
(1)求a;
(2)討論函數(shù)和
的單調(diào)性;
(3)設(shè),求證:
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
,當(dāng)
時(shí),恒有
;
(1)求的表達(dá)式;
(2)設(shè)不等式,
的解集為
,且
,求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(3)若方程的解集為
,求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為
、
,離心率為
,點(diǎn)
是橢圓
上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且
面積的最大值為
.
(1)求橢圓的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)作直線
交橢圓
于
、
兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)
作直線
的垂線
交圓
:
于另一點(diǎn)
.若
的面積為3,求直線
的斜率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的定義域是
,且
,
,當(dāng)
時(shí),
.
(1)判斷的奇偶性,并說(shuō)明理由;
(2)求在區(qū)間
上的解析式;
(3)是否存在整數(shù),使得當(dāng)
時(shí),不等式
有解?證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,圓與直線
相切于點(diǎn)
,與
正半軸交于點(diǎn)
,與直線
在第一象限的交點(diǎn)為
. 點(diǎn)
為圓
上任一點(diǎn),且滿足
,以
為坐標(biāo)的動(dòng)點(diǎn)
的軌跡記為曲線
.
(1)求圓的方程及曲線
的方程;
(2)若兩條直線和
分別交曲線
于點(diǎn)
和
,求四邊形
面積的最大值,并求此時(shí)的
的值.
(3)已知曲線的軌跡為橢圓,研究曲線
的對(duì)稱性,并求橢圓
的焦點(diǎn)坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】市場(chǎng)上有一種新型的強(qiáng)力洗衣粉,特點(diǎn)是去污速度快,已知每投放(
且
)個(gè)單位的洗衣粉液在一定量水的洗衣機(jī)中,它在水中釋放的濃度
(克/升)隨著時(shí)間
(分鐘)變化的函數(shù)關(guān)系式近似為
,其中
,若多次投放,則某一時(shí)刻水中的洗衣液濃度為每次投放的洗衣液在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之和,根據(jù)經(jīng)驗(yàn),當(dāng)水中洗衣液的濃度不低于4(克/升)時(shí),它才能起有效去污的作用.
(1)若只投放一次4個(gè)單位的洗衣液,則有效去污時(shí)間可能達(dá)幾分鐘?
(2)若先投放2個(gè)單位的洗衣液,6分鐘后投放個(gè)單位的洗衣液,要使接下來(lái)的4分鐘中能夠持續(xù)有效去污,試求
的最小值(精確到0.1,參考數(shù)據(jù):
取
).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)為實(shí)數(shù),函數(shù)
.
(1)若函數(shù)是偶函數(shù),求實(shí)數(shù)
的值;
(2)若,求函數(shù)
的最小值;
(3)對(duì)于函數(shù),在定義域內(nèi)給定區(qū)間
,如果存在
,滿足
,則稱函數(shù)
是區(qū)間
上的“平均值函數(shù)”,
是它的一個(gè)“均值點(diǎn)”.如函數(shù)
是
上的平均值函數(shù),
就是它的均值點(diǎn).現(xiàn)有函數(shù)
是區(qū)間
上的平均值函數(shù),求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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