Question

當x∈[1，∞）時，下列不等式恒成立的是（　�。�

• A、lnx≤1-

  1

  x

• B、lnx≤

  2(x-1)

  x+1

• C、lnx≤

  1

  2

  （x-

  1

  x

  ）
• D、lnx≥x-1

Answer 1

考點：函數(shù)最值的應用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：對于不等式不成立的利用特殊值法進行排除，對于成立的不等式，構造函數(shù)利用導數(shù)進行證明．

解答： 解：A．當x=e時，lnx≤1-

1

x

不成立．
B．若x=9，則

2(x-1)

x+1

=

2×8

10

=1.6，ln9＞2，此時B不成立．
C．設f（x）=lnx-

1

2

（x-

1

x

），則函數(shù)的導數(shù)為f′（x）=

1

x

-

1

2

-

1

2x2

=

-x2+2x-1

2x2

=

-(x-1)2

2x2

≤0，
∴函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，當x∈[1，∞）時，f（x）≤f（1）=0，
即lnx≤

1

2

（x-

1

x

）成立．
D．當x=e時，lne=1，e-1＞1，此時不等式lnx≥x-1不成立．
故選：C

點評：本題主要考查不等式恒成立問題，利用導數(shù)或者特殊值法是解決本題的關鍵．