【題目】設(shè)是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列,
,
是
和
的等比中項,
的前
項和為
,
.
(1)求和
的通項公式;
(2)設(shè)數(shù)列的通項公式
.
(i)求數(shù)列的前
項和
;
(ii)求.
【答案】(1),
;(2)(i)
;(ii)
【解析】
(1)因為,
是
和
的等比中項,根據(jù)等比中項可求得
,再根據(jù)等差數(shù)列的通項公式求出
,利用
與
的關(guān)系,證出
是以2為首項,2為公比的等比數(shù)列,再利用等比數(shù)列的通項公式求出
的通項公式;
(2)根據(jù)(1)中
和
的通項公式,列出數(shù)列
的通項公式,利用分組求和法,分成奇數(shù)組和偶數(shù)組,即可求出數(shù)列
的前
項和
;
將
分為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況,當(dāng)
為奇數(shù)時,設(shè)
,運用裂項相消法化簡求出結(jié)果;當(dāng)
為偶數(shù)時,設(shè)
,運用錯位相減法求出結(jié)果;分別求解出后,相加求得
的值即可.
(1)解:設(shè)等差數(shù)列的公差為
,
因為,
是
和
的等比中項,
所以,即
,
解得,因為
是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列,
所以,
故,
因為,所以
,
兩式相減得:,
當(dāng)時,
,
,
是以2為首項,2為公比的等比數(shù)列,
.
(2)(i)解:,
所以
.
(ii)解:當(dāng)為奇數(shù)時,
設(shè)
,
當(dāng)為偶數(shù)時,
設(shè),
,
所以,
故,
所以.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】過拋物線上一點
作直線交拋物線E于另一點N.
(1)若直線MN的斜率為1,求線段的長.
(2)不過點M的動直線l交拋物線E于A,B兩點,且以AB為直徑的圓經(jīng)過點M,問動直線l是否恒過定點.如果有求定點坐標(biāo),如果沒有請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若在
單調(diào)遞增,求
的值;
(2)當(dāng)時,設(shè)函數(shù)
的最小值為
,求函數(shù)
的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線
的參數(shù)方程為
(
為參數(shù)),以坐標(biāo)原點
為極點,
軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線
的極坐標(biāo)方程為
.
(1)求直線和曲線
的直角坐標(biāo)方程;
(2)若點坐標(biāo)為
,直線
與曲線
交于
兩點,且
,求實數(shù)
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知點是
軸下方(不含
軸)一點,拋物線
上存在不同的兩點
、
滿足
,
,其中
為常數(shù),且
、
兩點均在
上,弦
的中點為
.
(1)若點坐標(biāo)為
,
時,求弦
所在的直線方程;
(2)在(1)的條件下,如果過點的直線
與拋物線
只有一個交點,過
點的直線
與拋物線
也只有一個交點,求證:若
和
的斜率都存在,則
與
的交點
在直線
上;
(3)若直線交拋物線
于點
,求證:線段
與
的比為定值,并求出該定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時,求函數(shù)
在
處的切線方程;
(2)若在
上恒成立,求實數(shù)
的取值范圍;
(3)當(dāng)時,求函數(shù)
的極大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】中國古代幾何中的勾股容圓,是闡述直角三角形中內(nèi)切圓問題. 此類問題最早見于《九章算術(shù)》“勾股”章,該章第16題為:“今有勾八步,股十五步. 問勾中容圓,徑幾何?”意思是“直角三角形的兩條直角邊分別為8和15,則其內(nèi)切圓直徑是多少?”若向上述直角三角形內(nèi)隨機(jī)拋擲120顆米粒(大小忽略不計,取),落在三角形內(nèi)切圓內(nèi)的米粒數(shù)大約為( )
A.54B.48C.42D.36
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